실수

실수을 수직선으로 나타낸 것

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수학에서, 실수(實數, 영어: real number)는 주로 실직선 위의 점 또는 십진법 전개로 표현되는 수 체계이다. 예를 들어, -1, 0, 1/2 √2, e, π 등은 모두 실수이다.

실수에 대하여 사칙 연산(덧셈 · 뺄셈 · 곱셈 · 나눗셈)을 실행할 수 있다. 실수는 크기 비교가 가능하며, 실직선에서 더 왼쪽에 있는 수가 더 오른쪽에 있는 수보다 작다. 특히, 실수는 0보다 큰 양수 · 0보다 작은 음수 · 0으로 분류된다. 또한, 실수는 정수의 비인 유리수와 그렇지 않은 무리수로도 분류되며, 정수 계수 다항식의 근인 대수적 수와 그렇지 않은 초월수로도 분류된다. 실직선은 복소 평면의 일부로 볼 수 있으며, 이 경우 실수는 허수와 함께 복소수를 이룬다.

공리적으로, 실수는 완비 순서체로 정의되며, 이는 동형 의미 아래 유일하다. 구성적으로, 실수는 유리수 코시 수열의 동치류 · 데데킨트 절단 · 십진법 전개의 동치류로서 구성된다. 실수의 완비성은 공집합이 아닌 실수 유계 집합이 항상 상한과 하한을 갖는다는 성질이다. 이는 유리수와 구별되는 중요한 성질이다.

실수 집합은 비가산 집합이다. 즉, 자연수 집합과 실수 집합은 둘다 무한 집합이나, 그 사이에 일대일 대응이 존재하지 않는다. 실수 집합의 크기는 자연수 집합의 크기보다 크다. 연속체 가설은 자연수 집합보다 크며 실수 집합보다 작은 크기를 갖는 실수 부분 집합이 존재하지 않는다는 명제이다. 연속체 가설은 ZFC(즉, 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론)에서 증명할 수도, 반증할 수도 없으며, 연속체 가설을 만족하거나, 그 부정을 만족하는 ZFC의 모형이 모두 존재한다.

역사

실수에 대한 엄밀한 정의는 게오르크 칸토어에 의해 이루어졌다. 유리수로부터 실수를 이론적으로 확장하여 그 성질을 규정짓게 된 것은 카를 바이어슈트라스, 게오르크 칸토어, 리하르트 데데킨트와 같은 수학자들의 공이 지대하였다.

정의

 이 부분의 본문은 실수의 구성입니다.

실수 $(\mathbb {R} ,+,\cdot ,<)$는 공리적으로 기술하거나, 유리수 등으로부터 구성하여 정의할 수 있다.

공리적 방법

실수는 다음과 같은 공리를 만족하는 수 체계이다.

• 체를 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈을 갖추며, 이들은 익숙한 규칙대로 작용한다.
• 순서체를 이룬다. 즉, 전순서를 갖추며, 이는 덧셈 및 곱셈과 조화를 이룬다.
• 완비적이다. 즉, 공집합이 아닌 실수 부분 집합이 상계를 갖는다면, 항상 상한을 갖는다.

마지막 완비성은 실수를 유리수와 구분짓는 성질이다. 이들 공리를 만족하는 수 체계는 동형 의미 하에 유일하다.

구성적 방법

실수는 다음과 같은 대상으로서 구성할 수 있다. 이렇게 구성한 실수는 실수 공리계의 모형을 이룬다. 즉, 실수 공리계의 모든 공리들을 만족한다.

• 유리수 코시 수열의 "거리가 0으로 수렴"하는 동치 관계에 대한 동치류. 즉, 유리수의 표준 거리 공간에 대한 완비화이다.
• 유리수에 대한 데데킨트 절단.
• 십진법 전개의 동치류. 예를 들어, 1과 0.999...는 서로 동치이다.

연산과 순서

사칙연산

 이 부분의 본문은 사칙연산입니다.

실수 집합 위에는 덧셈 +, 뺄셈 -, 곱셈 ×, 나눗셈 ÷이 정의되어 있으며, 이들 중 덧셈과 곱셈은 교환 법칙, 결합 법칙, 분배 법칙을 만족한다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• $a+b=b+a$
• $(a+b)+c=a+(b+c)$
• $a\cdot b=b\cdot a$
• $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
• $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

실수 0과 1은 사칙 연산에서 특별한 역할을 맡는다. 즉, 임의의 실수들에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• $0+a=a$
• $1\cdot a=a$
• $0\cdot a=0$

실수 $x\in \mathbb {R}$과 그 반수 $-x$를 더하면 0이다. 즉,

• $x+(-x)=0$

0이 아닌 실수 $x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}$과 그 역수 ${\frac {1}{x}}$를 곱하면 1이다. 즉,

• $x\cdot {\frac {1}{x}}=1$

뺄셈과 나눗셈은 다음과 같이 덧셈과 곱셈으로 귀결된다.

• $a-b=a+(-b)$
• ${\frac {a}{b}}=a\cdot {\frac {1}{b}}$

거듭제곱과 거듭제곱근

 이 부분의 본문은 거듭제곱 및 거듭제곱근입니다.

순서

구간은 특별한 실수 부분 집합으로서, 주어진 두 실수 사이의 실수를 원소로 갖거나, 주어진 한 실수를 시작점으로 하는 반직선에 놓인 실수를 원소로 갖는다. 예를 들어, 임의의 $x\in \mathbb {R}$에 대하여, 다음과 같다.

• $x\in (3,5)\iff 3<x<5$
• $x\in [-2,10]\iff -2\leq x\leq 10$
• $x\in (6,+\infty )\iff 6<x$

퇴화 구간은 구간과 비슷한 집합으로서, 두 끝점의 순서가 정상적인 구간의 반대이다. 예를 들어, 다음과 같다.

• $[3,3]=\{3\}$
• $(9,5)=\varnothing$

실수 집합은 아르키메데스 성질을 만족한다.

위상

실수 집합 위에는 표준적인 위상 공간 · 거리 공간 · 노름 공간 · 내적 공간 구조를 부여할 수 있다. 즉,

• 주어진 두 실수 $x,y\in \mathbb {R}$의 내적은 곱 $xy$이다.
• 주어진 실수 $x\in \mathbb {R}$의 노름은 절댓값 $|x|$이다.
• 주어진 두 실수 $x,y\in \mathbb {R}$의 거리는 $|x-y|$이다.
• 실수 집합 위의 표준적인 위상은 거리 위상이자 순서 위상이다.

실수 부분 집합 $S\subseteq \mathbb {R}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 콤팩트 집합이다. 즉, 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는다.
• 점렬 콤팩트 집합이다. 즉, 그 속의 모든 수열은 수렴 부분 수열을 갖는다.
• 극한점 콤팩트 집합이다. 즉, 모든 무한 부분 집합이 극한점을 갖는다.
• 유계 닫힌집합이다.

사실, 모든 유클리드 공간에 대하여, 위 네 조건은 서로 동치이며, 모든 거리 공간에 대하여, 앞에 세 조건은 서로 동치이다.

또한, $S\subseteq \mathbb {R}$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 연결 공간이다.
• 경로 연결 공간이다.
• 호 연결 공간이다.
• 중간값 성질을 만족한다. 즉, 임의의 $a,b\in S$에 대하여, $(a,b)\subseteq S$이다.
• (퇴화 또는 비퇴화) 구간이다.

같이 보기

• 허수
• 복소수
• 연분수
• 실해석학

바깥 고리

• “자연수 VS 실수”. 《네이버캐스트》.