제2 가산 공간: 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''무게'''({{llang|en|weight}}) <math>w(X)</math>는 <math>X</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]]들의 [[집합의 크기]] 가운데 최소인 [[기수 (수학)|기수]]이다. (기수의 순서는 [[정렬 순서]]이므로 이는 항상 존재한다.)
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 '''무게'''({{llang|en|weight}}) <math>\operatorname{wt}(X)</math>는 <math>X</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]]들의 [[집합의 크기]] 가운데 최소인 [[기수 (수학)|기수]]이다. (기수의 [[전순서]]는 [[정렬 전순서]]이므로 이는 항상 존재한다.)


위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''제2 가산 공간'''이라고 한다.
위상 공간 <math>X</math>에 대하여, 다음 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''제2 가산 공간'''이라고 한다.
* <math>w(X)\le\aleph_0</math>
* <math>\operatorname{wt}(X)\le\aleph_0</math>
* <math>X</math>는 [[가산 집합|가산]] [[기저 (위상수학)|기저]]를 갖는다.
* <math>X</math>는 [[가산 집합|가산]] [[기저 (위상수학)|기저]]를 갖는다.
* <math>X</math> 위의 임의의 [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, <math>\mathcal B'\subset\mathcal B</math>이며 기저를 이루는 [[가산 집합]] <math>\mathcal B'</math>이 존재한다.
* <math>X</math> 위의 임의의 [[기저 (위상수학)|기저]] <math>\mathcal B\subseteq\mathcal P(X)</math>에 대하여, <math>\mathcal B'\subset\mathcal B</math>이며 기저를 이루는 [[가산 집합]] <math>\mathcal B'</math>이 존재한다.
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* <math>M</math>은 [[린델뢰프 공간]]이다.
* <math>M</math>은 [[린델뢰프 공간]]이다.


'''우리손 거리화 정리'''({{llang|en|Urysohn metrization theorem}})에 따르면, 모든 제2 가산 [[정칙 공간]]은 [[거리화 가능 공간]]이다.
'''[[우리손 거리화 정리]]'''에 따르면, 모든 제2 가산 [[정칙 공간]]은 [[유사 거리화 가능 공간]]이며, 모든 제2 가산 [[정칙 공간|정칙]] [[하우스도르프 공간]]은 [[거리화 가능 공간]]이다.


=== 연산에 대한 닫힘 ===
=== 제2 가산성을 보존하는 연산 ===
==== 부분 공간 ====
임의의 위상 공간 <math>X</math> 위의 기저 <math>\mathcal B</math> 및 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math>에 대하여, <math>\{B\cap Y\colon B\in\mathcal B\}</math>는 <math>Y</math> 위의 기저를 이룬다. 따라서
임의의 위상 공간 <math>X</math> 위의 기저 <math>\mathcal B</math> 및 부분 집합 <math>Y\subseteq X</math>에 대하여, <math>\{B\cap Y\colon B\in\mathcal B\}</math>는 <math>Y</math> 위의 기저를 이룬다. 따라서
:<math>w(Y)\le w(X)</math>
:<math>\operatorname{wt}(Y)\le\operatorname{wt}(X)</math>
이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다.
이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다.


==== 몫공간 ====
제2 가산 공간의 [[몫공간]]은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다. 다만, 임의의 제2 가산 공간 <Math>X</math> 및 [[열린집합]] <math>U</math>에 대하여, 동치 관계
:<math>x\sim y\iff x=y\lor x\in U\ni y</math>
를 주었을 때, [[몫공간]] <math>X/\sim=X/U</math>은 역시 제2 가산 공간이다.

==== 곱공간 ====
임의의 [[곱공간]]
임의의 [[곱공간]]
:<math>X=\prod_{i\in I}X_i</math>
:<math>X=\prod_{i\in I}X_i</math>
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\colon B_i\in\mathcal B_i,\;\{i\in I\colon B_i\ne X_i\}<\aleph_0\right\}</math>
\colon B_i\in\mathcal B_i,\;\{i\in I\colon B_i\ne X_i\}<\aleph_0\right\}</math>
는 <math>X</math> 위의 기저를 이룬다. 따라서
는 <math>X</math> 위의 기저를 이룬다. 따라서
:<math>w(X)\le\sum_{J\subseteq I}^{J<\aleph_0}
:<math>\operatorname{wt}(X)\le\sum_{J\subseteq I}^{J<\aleph_0}
\prod_{i\in J}w(X_i)\le
\prod_{i\in J}\operatorname{wt}(X_i)\le
\max\left(\{w(X_i)\colon i\in I\}\cup\{|I|,\aleph_0\}\right)
\max\left(\{\operatorname{wt}(X_i)\colon i\in I\}\cup\{|I|,\aleph_0\}\right)
</math>
</math>
이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 [[곱공간]]은 제2 가산 공간이며, 임의의 무한 기수 <math>\kappa</math>에 대하여 <math>\kappa</math>개 이하의, 무게가 <math>\kappa</math> 이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는 <math>\kappa</math> 이하이다.
이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 [[곱공간]]은 제2 가산 공간이며, 임의의 [[무한 기수]] <math>\kappa</math>에 대하여 <math>\kappa</math>개 이하의, 무게가 <math>\kappa</math> 이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는 <math>\kappa</math> 이하이다.

그러나 제2 가산 공간의 [[몫공간]]은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다.


==== 분리합집합 ====
위상 공간들의 집합 <math>\{X_i\}_{i\in I}</math>의 [[분리합집합]]
위상 공간들의 집합 <math>\{X_i\}_{i\in I}</math>의 [[분리합집합]]
:<math>X=\bigsqcup_{i\in I}X_i</math>
:<math>X=\bigsqcup_{i\in I}X_i</math>
의 무게는 각 성분들의 무게들의 합이다.
의 무게는 각 성분들의 무게들의 합이다.
:<math>w(X)=\sum_{i\in I}w(X_i)</math>
:<math>\operatorname{wt}(X)=\sum_{i\in I}\operatorname{wt}(X_i)</math>
따라서, 가산 개의 제2 가산 공간들의 [[분리합집합]]은 제2 가산 공간이다. 그러나 [[비가산]] 개의 위상 공간들의 [[분리합집합]]은 (위상 공간들이 [[공집합]]이 아니라면) 제2 가산 공간이 아니다.
따라서, 가산 개의 제2 가산 공간들의 [[분리합집합]]은 제2 가산 공간이다. 그러나 [[비가산]] 개의 위상 공간들의 [[분리합집합]]은 (위상 공간들이 [[공집합]]이 아니라면) 제2 가산 공간이 아니다.


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* [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>
* [[유클리드 공간]] <math>\mathbb R^n</math>
* 힐베르트 차원이 <math>\aleph_0</math> 이하인 [[힐베르트 공간]]
* 힐베르트 차원이 <math>\aleph_0</math> 이하인 [[힐베르트 공간]]
* [[가산 집합|가산]] 개의 [[연결 성분]]을 갖는 [[다양체]] (다양체 = [[파라콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] 국소 유클리드 공간)
* [[가산 집합|가산]] 개의 [[연결 성분]]을 갖는 [[다양체]] (다양체 = [[파라콤팩트]] [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 유클리드 공간]])


[[긴 직선]]은 [[T4 공간|T<sub>4</sub>]] [[제1 가산 공간]]이지만, 제2 가산 공간이 아니다.
[[긴 직선]]은 [[T4 공간|T<sub>4</sub>]] [[제1 가산 공간]]이지만, 제2 가산 공간이 아니다.


=== 이산 공간 ===
[[이산 공간]]의 경우, 최소의 [[기저 (위상수학)|기저]]는 모든 가능한 [[한원소 집합]]들로 구성된다. 따라서, [[이산 공간]] <math>X</math>의 밀도는 그 [[집합의 크기]]와 같다.
[[이산 공간]]의 경우, 최소의 [[기저 (위상수학)|기저]]는 모든 가능한 [[한원소 집합]]들로 구성된다. 따라서, [[이산 공간]] <math>X</math>의 밀도는 그 [[집합의 크기]]와 같다.
:<math>w(X)=|X|</math>
:<math>w(X)=|X|</math>
특히, 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 가산 집합인 것과 [[동치]]이다.
특히, 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 [[가산 집합]]인 것과 [[동치]]이다.


=== 비이산 공간 ===
[[비이산 공간]] <math>X</math>의 경우, 최소의 [[기저 (위상수학)|기저]]는 ([[공집합]]이 아닐 경우) <math>\{X\}</math>이다. 따라서, [[비이산 공간]] <math>X</math>의 밀도는 다음과 같다.
[[비이산 공간]] <math>X</math>의 경우, 최소의 [[기저 (위상수학)|기저]]는 ([[공집합]]이 아닐 경우) <math>\{X\}</math>이다. 따라서, [[비이산 공간]] <math>X</math>의 밀도는 다음과 같다.
:<math>w(X)=\min\{1,|X|\}</math>
:<math>w(X)=\min\{1,|X|\}</math>
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== 참고 문헌 ==
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 이름2=J. Arthur, Jr. | 성2= Seebach |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2판 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어=en}}
* {{서적 인용 | last=Steen | first=Lynn Arthur | 이름2=J. Arthur, Jr. | 성2= Seebach |제목=Counterexamples in topology | 날짜=1978 | publisher=Springer | isbn= 978-0-387-90312-5 | mr=507446 | zbl = 0386.54001 | 판=2판 | doi = 10.1007/978-1-4612-6290-9 | 언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[제1 가산 공간]]
* [[분해 가능 공간]]


== 바깥 고리 ==
== 바깥 고리 ==
* {{eom|title=Second axiom of countability}}
* {{eom|title=Second axiom of countability}}
* {{매스월드|id=SecondCountableTopology|title=Second countable topology}}
* {{매스월드|id=SecondCountableTopology|title=Second countable topology}}
* {{nlab|id=second-countable space|title=Second-countable space}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Second-countable_space|제목=Second-countable space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Second-countable_space|제목=Second-countable space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://proofwiki.org/wiki/Definition:Second-Countable_Space|제목=Definition: second-countable space|웹사이트=ProofWiki|언어=en}}
* {{nlab|id=second-countable space|title=Second-countable space}}


[[분류:위상 공간의 성질]]
[[분류:위상 공간의 성질]]

2016년 9월 15일 (목) 12:21 판

일반위상수학에서, 제2 가산 공간(第二可算空間, 영어: second-countable space)은 가산 기저를 갖는 위상 공간이다.

정의

위상 공간 무게(영어: weight) 기저들의 집합의 크기 가운데 최소인 기수이다. (기수의 전순서정렬 전순서이므로 이는 항상 존재한다.)

위상 공간 에 대하여, 다음 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 제2 가산 공간이라고 한다.

  • 가산 기저를 갖는다.
  • 위의 임의의 기저 에 대하여, 이며 기저를 이루는 가산 집합 이 존재한다.

성질

모든 제2 가산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

거리화 가능 공간 에 대하여, 다음 성질들이 서로 동치이다.

우리손 거리화 정리에 따르면, 모든 제2 가산 정칙 공간유사 거리화 가능 공간이며, 모든 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간거리화 가능 공간이다.

연산에 대한 닫힘

부분 공간

임의의 위상 공간 위의 기저 및 부분 집합 에 대하여, 위의 기저를 이룬다. 따라서

이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다.

몫공간

제2 가산 공간의 몫공간은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다. 다만, 임의의 제2 가산 공간 열린집합 에 대하여, 동치 관계

를 주었을 때, 몫공간 은 역시 제2 가산 공간이다.

곱공간

임의의 곱공간

및 각 위의 기저 에 대하여,

위의 기저를 이룬다. 따라서

이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 곱공간은 제2 가산 공간이며, 임의의 무한 기수 에 대하여 개 이하의, 무게가 이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는 이하이다.

분리합집합

위상 공간들의 집합 분리합집합

의 무게는 각 성분들의 무게들의 합이다.

따라서, 가산 개의 제2 가산 공간들의 분리합집합은 제2 가산 공간이다. 그러나 비가산 개의 위상 공간들의 분리합집합은 (위상 공간들이 공집합이 아니라면) 제2 가산 공간이 아니다.

크기 관련 성질

제2 가산 공간의 열린집합의 수는 이하이다.

제2 가산 공간 위의 임의의 기저는 가산 부분 기저를 갖는다.

흔히 볼 수 있는 대부분의 공간들이 제2 가산 공간이다.

긴 직선T4 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다.

이산 공간

이산 공간의 경우, 최소의 기저는 모든 가능한 한원소 집합들로 구성된다. 따라서, 이산 공간 의 밀도는 그 집합의 크기와 같다.

특히, 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 가산 집합인 것과 동치이다.

비이산 공간

비이산 공간 의 경우, 최소의 기저는 (공집합이 아닐 경우) 이다. 따라서, 비이산 공간 의 밀도는 다음과 같다.

특히, 모든 비이산 공간은 제2 가산 공간이다.

참고 문헌

바깥 고리