실수

실수을 수직선으로 나타낸 것

다른 뜻에 대해서는 실수 (동음이의) 문서를 참고하십시오.

수학에서 실수(實數, 영어: real number)는 실직선 상의 점, 또는 십진법 전개로 주로 표현되는 수 체계이다. -1, 0, 1/2 [[루트 2|틀:근호]], e, π 등은 모두 실수이다.

실수에 대해 사칙연산, 즉 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 행할 수 있다. 실수는 크기 비교가 가능한데, 실직선에서 더 왼쪽에 있는 수가 오른쪽에 있는 수보다 작다. 특별히 실수를 0과 비교하여, 그보다 큰 양수, 그보다 작은 음수로 나누는 것은 실수의 한 분류법이다.

정수의 비인 유리수와 그렇지 않은 무리수로도 나뉘며, 정수 계수 다항식의 근인 대수적 수와 그렇지 않은 초월수로도 나뉜다. 실직선은 복소평면의 일부로 볼 수 있으며, 이때 실수는 허수와 함께 복소수를 이룬다.

실수는 공리적으로 (동형 의미 하에) 유일한 완비 순서체로 정의된다. 유리수 코시 열의 동치류, 데데킨트 절단, 또는 십진법 전개식 등으로서 실수를 구성할 수도 있다. 실수의 완비성(상계가 있는 실수의 비지 않은 부분집합에 항상 상한이 존재한다는 성질)은 유리수와 구별되는 중요한 성질이다.

역사

실수에 대한 엄밀한 정의는 게오르크 칸토어에 의해 이루어졌다. 유리수로부터 실수를 이론적으로 확장하여 그 성질을 규정짓게 된 것은 카를 바이어슈트라스, 게오르크 칸토어, 리하르트 데데킨트와 같은 수학자들의 공이 지대하였다.

정의

실수 $(\mathbb {R} ,+,\cdot ,<)$는 공리적으로 기술하거나, 유리수 등으로부터 구성하여 정의할 수 있다.

공리적 방법

 이 부분의 본문은 실수 공리입니다.

공리적으로, 대개 실수 $\mathbb {R}$는 다음 조건을 만족하는 수 체계로 기술된다.

• $\mathbb {R}$은 체를 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈을 갖추며, 이들은 익숙한 규칙대로 작용한다.
• $\mathbb {R}$은 순서체를 이룬다. 즉, 전순서를 갖추며, 이는 아래 성질을 만족한다.
  • 만약 $x\geq y$이면 $x+z\geq y+z$
  • 만약 $x\geq 0$, $y\geq 0$이면 $xy\geq 0$
• 순서는 완비적이다. 즉 공집합이 아니고 상계가 존재하는 임의의 $S\subseteq \mathbb {R}$에 최소상계(상한)가 존재한다.

마지막 성질인 완비성은 실수를 유리수와 구분짓는 성질이다. 이들 공리를 만족하는 수 체계는 동형 의미 하에 유일하다.

구성적 방법

 이 부분의 본문은 실수의 구성입니다.

실수를 이를테면 코시 유리수열에 대한 동치류, 또는 유리수에 대한 데데킨트 절단이라 규정하고, 이에 기초해 덧셈, 곱셈, 순서 구조를 정립하여 실수를 구성할 수 있다.

같이 보기

• 허수
• 복소수
• 연분수
• 실해석학

바깥고리

• “자연수 VS 실수”. 《네이버캐스트》.