상집합: 두 판 사이의 차이
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* <math>s\in S</math> 및 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>C\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>\{s\}=\min C</math>라면, <math>C\subseteq S</math>이다. |
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* <math>X\setminus S</math>는 하집합이다. |
* 하집합의 [[여집합]]이다. 즉, <math>X\setminus S</math>는 하집합이다. |
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[[원순서 집합]] <math>(X, \lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[부분 집합]]을 '''하집합'''(下集合, {{llang|en|lower set}})이라고 한다. |
[[원순서 집합]] <math>(X, \lesssim)</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq X</math>에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[부분 집합]]을 '''하집합'''(下集合, {{llang|en|lower set}})이라고 한다. |
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* <math>s\in S</math> 및 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>C\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>\{s\}=\max C</math>라면, <math>C\subseteq S</math>이다. |
* <math>s\in S</math> 및 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>C\subseteq X</math>에 대하여, 만약 <math>\{s\}=\max C</math>라면, <math>C\subseteq S</math>이다. |
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* <math>X\setminus S</math>는 |
* 상집합의 [[여집합]]이다. 즉, <math>X\setminus S</math>는 상집합이다. |
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=== 상집합 위상 === |
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[[원순서 집합]] <math>(X,\lesssim)</math> 위에, 상집합들이 [[열린집합]]이며 하집합들이 [[닫힌집합]]인 위상을 정의할 수 있으며, 이를 <math>X</math>의 '''상집합 위상'''({{llang|en|upper-set topology}}) 또는 단순히 '''상위상'''({{llang|en|upper topology}})이라고 한다. 상집합 위상에서, 부분 집합의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 하폐포이다. |
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마찬가지로, 하집합들이 [[열린집합]]이며 상집합들이 [[닫힌집합]]인 위상을 정의할 수 있으며, 이를 <math>X</math>의 '''하집합 위상'''({{llang|en|lower-set topology}}) 또는 단순히 '''하위상'''({{llang|en|lower topology}})이라고 한다. 하집합 위상에서, 부분 집합의 [[폐포 (위상수학)|폐포]]는 상폐포이다. |
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== 성질 == |
== 성질 == |
2016년 6월 26일 (일) 11:10 판
순서론에서, 상집합(上集合, 영어: upper set, upward-closed set, upset)은 에 속하는 원소보다 더 큰 임의의 원소 역시 에 속하는, 원순서 집합의 부분 집합 이다. 마찬가지로, 하집합(下集合, 영어: lower set, downward-closed set, downset)은 에 속하는 원소보다 더 작은 임의의 원소 역시 에 속하는, 원순서 집합의 부분 집합 이다.
정의
원순서 집합 의 부분 집합 의 상폐포(上閉包, 영어: upper closure)는 다음과 같은 부분 집합이다.
이는 를 포함하는 최소 상집합이다. 원순서 집합 의 부분 집합 의 하폐포(下閉包, 영어: lower closure)는 다음과 같은 부분 집합이다.
이는 를 포함하는 최소 하집합이다.
원순서 집합 의 부분 집합 에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 상집합(上集合, 영어: upper set)이라고 한다.
원순서 집합 의 부분 집합 에 대하여 다음 조건들이 모두 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 하집합(下集合, 영어: lower set)이라고 한다.
상집합 위상
원순서 집합 위에, 상집합들이 열린집합이며 하집합들이 닫힌집합인 위상을 정의할 수 있으며, 이를 의 상집합 위상(영어: upper-set topology) 또는 단순히 상위상(영어: upper topology)이라고 한다. 상집합 위상에서, 부분 집합의 폐포는 하폐포이다.
마찬가지로, 하집합들이 열린집합이며 상집합들이 닫힌집합인 위상을 정의할 수 있으며, 이를 의 하집합 위상(영어: lower-set topology) 또는 단순히 하위상(영어: lower topology)이라고 한다. 하집합 위상에서, 부분 집합의 폐포는 상폐포이다.
성질
원순서 집합 의 상집합들의 (유한 또는 무한) 족 의 교집합
및 합집합
역시 상집합이다. 마찬가지로, 하집합들의 족의 (유한 또는 무한) 족의 교집합과 합집합 역시 하집합이다.
따라서, 원순서 집합 의 상집합들의 족은 (부분 집합 관계에 대하여) 완비 격자를 이룬다. 마찬가지로, 의 하집합들의 족 역시 완비 격자를 이룬다.
반사슬과의 관계
부분 순서 집합 의 상집합 의 극소 원소들의 집합 는 의 반사슬을 이룬다. 마찬가지로, 의 하집합 의 극대 원소들의 집합 은 의 반사슬을 이룬다.
반대로, 부분 순서 집합 의 반사슬 가 주어졌을 때, 는 상집합이며
이다. 따라서, 의 반사슬 집합에서 상집합 집합으로 가는 함수
는 단사 함수이며,
만약 가 내림 사슬 조건을 만족시킨다면 이 두 함수는 전단사 함수이다. 그러나 일반적 부분 순서 집합에 대해서는 전단사 함수가 아닐 수 있다. 예를 들어, 실수의 전순서 집합에서 양의 실수의 부분 집합 는 상집합이지만 극소 원소를 갖지 않는다.
예
자명한 상집합·하집합
임의의 원순서 집합 에 대하여, 는 스스로의 상집합이자 하집합이며, 또 공집합 역시 의 상집합이자 하집합이다.
주 필터와 주 아이디얼
임의의 원순서 집합 의 원소 에 대하여,
는 각각 상집합과 하집합을 이룬다. 사실, 이들은 각각 필터와 아이디얼을 이룬다.
실직선
실수의 전순서 집합 의 상집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.
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마찬가지로, 실수의 전순서 집합 의 하집합은 항상 다음 네 가지 가운데 하나이다.
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정렬 집합
순서수는 스스로 미만의 다른 순서수들의 집합으로 여길 수 있다.
이 경우, 두 순서수 에 대하여, 만약 라면 는 의 하집합이다.
순서수 의 모든 상집합은 다음과 같은 꼴이다.
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순서수 의 모든 하집합은 다음과 같은 꼴이다.
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바깥 고리
- “Upper set”. 《nLab》 (영어).
- “Lower set”. 《nLab》 (영어).
- “Up set”. 《nLab》 (영어).
- “Down set”. 《nLab》 (영어).
- “Definition: upper set”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: upper closure”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: lower set”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: lower closure”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: strict upper closure”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: strict lower closure”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Equivalence of definitions of upper set”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Equivalence of definitions of lower set”. 《ProofWiki》 (영어).