실베스터 방정식: 두 판 사이의 차이
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제어이론에서 '''실베스터 방정식'''(Sylvester方程式, [[영어]]:Sylvester Equation)은 다음과 같은 형태의 행렬 방정식을 말한다. <ref>이 방정식은 ''AX-XB=C''의 형태로도 쓰인다.</ref> |
제어이론에서 '''실베스터 방정식'''(Sylvester方程式, [[영어]]:Sylvester Equation)은 다음과 같은 형태의 행렬 방정식을 말한다. <ref>이 방정식은 ''AX-XB=C''의 형태로도 쓰인다.</ref> |
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:<math>A X + X B = C.</math> |
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''A'',''B'', 그리고 ''C''는 주어진 행렬이고, 문제는 이 방정식을 따르는 행렬 ''X''를 구하는 것이다. 모든 행렬은 복소수에서 계수를 가질 수 있다고 한다. 방정식이 성립하기 위하여, 행렬은 반드시 적절한 사이즈를 가져야 한다. 예를 들면 모든 행렬이 같은 크기의 정사각행렬이 되도록 하거나 말이다. 하지만 좀 더 일반적으로, 우리는 ''A''와 ''B''를 각각 ''n''과 ''m'' 사이즈의 정사각행렬을 취하며, ''X''와 ''C''는 둘 다 ''n''행 ''m''열의 행렬을 취한다. |
''A'',''B'', 그리고 ''C''는 주어진 행렬이고, 문제는 이 방정식을 따르는 행렬 ''X''를 구하는 것이다. 모든 행렬은 복소수에서 계수를 가질 수 있다고 한다. 방정식이 성립하기 위하여, 행렬은 반드시 적절한 사이즈를 가져야 한다. 예를 들면 모든 행렬이 같은 크기의 정사각행렬이 되도록 하거나 말이다. 하지만 좀 더 일반적으로, 우리는 ''A''와 ''B''를 각각 ''n''과 ''m'' 사이즈의 정사각행렬을 취하며, ''X''와 ''C''는 둘 다 ''n''행 ''m''열의 행렬을 취한다. |
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실베스터 방정식은 ''A''와 ''-B''가 공통된 고유값을 갖지 않을 때 ''X''는 정확히 하나의 해를 가진다. 더 일반적으로는, ''AX''+''XB''=''C'' (아마도 무한한 차원의)[[바나흐 공간]]에서의 [[유계 작용소]]의 방정식으로 간주된다. 이 경우에는, ''X''가 유일하게 존재하기 위한 조건은 ‘''A''와 ''-B''의 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]이 [[서로소 집합]]일 때’로 거의 같다.<ref>Bhatia and Rosenthal, 1997</ref> |
실베스터 방정식은 ''A''와 ''-B''가 공통된 고유값을 갖지 않을 때 ''X''는 정확히 하나의 해를 가진다. 더 일반적으로는, ''AX''+''XB''=''C'' (아마도 무한한 차원의)[[바나흐 공간]]에서의 [[유계 작용소]]의 방정식으로 간주된다. 이 경우에는, ''X''가 유일하게 존재하기 위한 조건은 ‘''A''와 ''-B''의 [[스펙트럼 (함수해석학)|스펙트럼]]이 [[서로소 집합]]일 때’로 거의 같다.<ref>Bhatia and Rosenthal, 1997</ref> |
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==참고 문헌== |
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2016년 3월 25일 (금) 00:52 판
제어이론에서 실베스터 방정식(Sylvester方程式, 영어:Sylvester Equation)은 다음과 같은 형태의 행렬 방정식을 말한다. [1]
A,B, 그리고 C는 주어진 행렬이고, 문제는 이 방정식을 따르는 행렬 X를 구하는 것이다. 모든 행렬은 복소수에서 계수를 가질 수 있다고 한다. 방정식이 성립하기 위하여, 행렬은 반드시 적절한 사이즈를 가져야 한다. 예를 들면 모든 행렬이 같은 크기의 정사각행렬이 되도록 하거나 말이다. 하지만 좀 더 일반적으로, 우리는 A와 B를 각각 n과 m 사이즈의 정사각행렬을 취하며, X와 C는 둘 다 n행 m열의 행렬을 취한다.
실베스터 방정식은 A와 -B가 공통된 고유값을 갖지 않을 때 X는 정확히 하나의 해를 가진다. 더 일반적으로는, AX+XB=C (아마도 무한한 차원의)바나흐 공간에서의 유계 작용소의 방정식으로 간주된다. 이 경우에는, X가 유일하게 존재하기 위한 조건은 ‘A와 -B의 스펙트럼이 서로소 집합일 때’로 거의 같다.[2]
해의 존재와 유일성
Roth의 제거 법칙
수치적 해
관련 항목
각주
참고 문헌
- Sylvester, J. (1884). “Sur l’equations en matrices ”. 《C. R. Acad. Sc. Paris》 99 (2): 67–71, 115–116.
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에 지움 문자가 있음(위치 29) (도움말) - Bartels, R. H.; Stewart, G. W. (1972). “Solution of the matrix equation ”. 《Comm. ACM》 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582.
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에 지움 문자가 있음(위치 33) (도움말) - Bhatia, R.; Rosenthal, P. (1997). “How and why to solve the operator equation ?”. 《Bull. London Math. Soc.》 29 (1): 1–21. doi:10.1112/S0024609396001828.
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에 지움 문자가 있음(위치 45) (도움말) - Lee, S.-G.; Vu, Q.-P. (2011). “Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum”. 《Linear Algebra Appl.》 435 (9): 2097–2109. doi:10.1016/j.laa.2010.09.034.
- Birkhoff and MacLane. 《A survey of Modern Algebra》. Macmillan. 213, 299쪽.