국소 연결 공간: 두 판 사이의 차이
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[[File:Topologist's_sine_curve.svg|thumb|right|[[위상수학자의 사인 곡선]]은 [[연결 공간|연결]] 국소 연결 공간이지만, [[경로 연결 공간]]이 아니며, 국소 경로 연결 공간도 아니다.]] |
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[[File:Comb.svg|thumb|right|빗 공간은 [[경로 연결 공간]]이지만 국소 연결 공간이 아니다.]] |
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(경로) 연결성과 국소 (경로) 연결성의 함의 관계에 대한 대표적인 예는 다음과 같다. |
(경로) 연결성과 국소 (경로) 연결성의 함의 관계에 대한 대표적인 예는 다음과 같다. |
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! 국소 연결이 아님 |
! 국소 연결이 아님 |
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| 빗 공간 || [[위상수학자의 사인 곡선]] |
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(연결 공간이 아닌 국소 경로 연결 공간 · 국소 연결 국소 경로 비연결 공간 · 국소 비연결 공간의 예를 얻으려면, 위 표의 예들의 [[분리합집합]]을 취하면 된다. 예를 들어, 두 개의 [[위상수학자의 사인 곡선]]의 [[분리합집합]]은 국소 연결 공간이 아닌 비연결 공간이다.) |
(연결 공간이 아닌 국소 경로 연결 공간 · 국소 연결 국소 경로 비연결 공간 · 국소 비연결 공간의 예를 얻으려면, 위 표의 예들의 [[분리합집합]]을 취하면 된다. 예를 들어, 두 개의 [[위상수학자의 사인 곡선]]의 [[분리합집합]]은 국소 연결 공간이 아닌 비연결 공간이다.) |
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[[위상수학자의 사인 곡선]]은 [[연결 공간]]이지만 국소 연결 공간이 아니다. (0, 1)에서 이 점을 중심으로 하는 적당히 작은 ε-구를 잡으면, (0, 1)을 포함하는 [[연결 성분]]은 [[열린집합]]이 아니기 때문이다. |
[[위상수학자의 사인 곡선]]은 [[연결 공간]]이지만 국소 연결 공간이 아니다. (0, 1)에서 이 점을 중심으로 하는 적당히 작은 ε-구를 잡으면, (0, 1)을 포함하는 [[연결 성분]]은 [[열린집합]]이 아니기 때문이다. |
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'''빗 공간'''({{llang|en|comb space}})은 <math>\mathbb R^2</math>의 다음과 같은 [[부분 공간]]이다. |
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:<math>\{0\}\times[0,1]\cup[0,1]\times\{0\}\cup\{1/n\colon n\in\mathbb Z^+\}\times[0,1]</math> |
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이는 [[경로 연결 공간]]이지만 국소 연결 공간이 아니다. |
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[[유리수]]의 [[부분 공간 위상]]은 국소 연결 공간도, [[연결 공간]]도 아니다. |
[[유리수]]의 [[부분 공간 위상]]은 국소 연결 공간도, [[연결 공간]]도 아니다. |
2016년 1월 26일 (화) 10:13 판
일반위상수학에서, 국소 연결 공간(局所連結空間, 영어: locally connected space)은 모든 점이 연결 근방을 갖는 위상 공간이다.
정의
위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 국소 연결 공간이라고 한다.
위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 국소 경로 연결 공간(局所經路連結空間, 영어: locally path connected space)이라고 한다.
성질
다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
- CW 복합체 ⊊ 국소 축약 가능 공간 ⊊ 국소 경로 연결 공간 ⊊ 국소 연결 공간
국소 경로 연결 공간 속에서 다음이 성립한다.
국소 연결 공간의 몫공간은 국소 연결 공간이다.[1]:163
(경로) 연결성과 국소 (경로) 연결성은 다음과 같은 함의 관계를 가진다.
경로 연결 | 연결이지만 경로 연결이 아님 | 연결이 아님 | |
---|---|---|---|
국소 경로 연결 | 가능 | 불가능 | 가능 |
국소 연결이지만, 국소 경로 연결이 아님 | 가능 | 가능 | 가능 |
국소 연결이 아님 | 가능 | 가능 | 가능 |
예
(경로) 연결성과 국소 (경로) 연결성의 함의 관계에 대한 대표적인 예는 다음과 같다.
경로 연결 | 연결이지만 경로 연결이 아님 | |
---|---|---|
국소 경로 연결 | 유클리드 공간 | (불가능) |
국소 연결이지만, 국소 경로 연결이 아님 | 비가산 집합의 여가산 위상(영어: cocountable topology)의 뿔 | 위의 사전식 순서 위상 |
국소 연결이 아님 | 빗 공간 | 위상수학자의 사인 곡선 |
(연결 공간이 아닌 국소 경로 연결 공간 · 국소 연결 국소 경로 비연결 공간 · 국소 비연결 공간의 예를 얻으려면, 위 표의 예들의 분리합집합을 취하면 된다. 예를 들어, 두 개의 위상수학자의 사인 곡선의 분리합집합은 국소 연결 공간이 아닌 비연결 공간이다.)
위상수학자의 사인 곡선은 연결 공간이지만 국소 연결 공간이 아니다. (0, 1)에서 이 점을 중심으로 하는 적당히 작은 ε-구를 잡으면, (0, 1)을 포함하는 연결 성분은 열린집합이 아니기 때문이다.
빗 공간(영어: comb space)은 의 다음과 같은 부분 공간이다.
이는 경로 연결 공간이지만 국소 연결 공간이 아니다.
유리수의 부분 공간 위상은 국소 연결 공간도, 연결 공간도 아니다.
참고 문헌
- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
바깥 고리
- “Locally connected space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Locally path-connected space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Locally connected”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Locally pathwise-connected”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Connected im Kleinen”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Locally path-connected space”. 《nLab》 (영어).
- “Locally connected space”. 《Topospaces》 (영어).
- “Locally path-connected space”. 《Topospaces》 (영어).
- “Connected not implies locally connected”. 《Topospaces》 (영어).
- “Locally connected and locally path-connected spaces”. 《Mathematics and Such》. 2013년 3월 10일.
- “Path-connected and locally connected space that is not locally path-connected” (영어). StackExchange.