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국소 연결 공간: 두 판 사이의 차이

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== 정의 ==
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''국소 연결 공간'''이라고 한다.
'''국소 연결 공간''' <math>X</math>는 임의의 점 <math>x\in X</math>의 임의의 근방 <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>x\in C\subseteq U</math>인 [[연결 공간|연결]] [[근방]] <math>C</math>가 존재하는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.<ref name="Munkres">James R. Munkres (2000), ''Topology'', Prentice Hall</ref>{{rp|161}}
* 임의의 점 <math>x\in X</math>의 임의의 근방 <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>x\in C\subseteq U</math>인 [[연결 공간|연결]] [[근방]] <math>C</math>가 존재한다.<ref name="Munkres">{{서적 인용|이름=James R.|성=Munkres|제목=Topology|isbn=978-013181629-9|판=2|출판사=Prentice Hall|날짜=2000|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page|zbl=0951.54001|mr=0464128 |언어=en}}</ref>{{rp|161}}
* 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>의 모든 [[연결 성분]]은 <math>X</math>의 [[열린집합]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|161}}
 
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 위상 공간을
'''국소 경로 연결 공간'''(局所經路連結空間, {{llang|en|locally path connected space}}) <math>X</math>는 임의의 점 <math>x\in X</math>의 임의의 근방 <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>x\in C\subseteq U</math>인 [[경로 연결 공간|경로 연결]] [[근방]] <math>C</math>가 존재하는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|161}}
'''국소 경로 연결 공간'''(局所經路連結空間, {{llang|en|locally path connected space}})이라고 한다.
'''국소 연결 공간''' <math>X</math>는* 임의의 점 <math>x\in X</math>의 임의의 [[근방]] <math>U\ni x</math>에 대하여, <math>x\in C\subseteq U</math>인 [[연결경로 공간|연결]] [[근방]] <math>C</math>가 존재하는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다존재한다.<ref name="Munkres">James R. Munkres (2000), ''Topology'', Prentice Hall</ref>{{rp|161}}
* 임의의 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>의 모든 [[경로 연결 성분]]은 <math>X</math>의 [[열린집합]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|161}}
 
== 성질 ==
다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
* 국소 경로 연결 공간은 국소 연결 공간이다.
:[[CW 복합체]] ⊊ [[국소 축약 가능 공간]] ⊊ 국소 경로 연결 공간 ⊊ 국소 연결 공간
* 위상 공간 X가 국소 연결 공간일 [[필요충분조건]]은 X 상의 임의의 [[열린 집합]] U에 대해 U의 모든 [[연결 성분]]이 X에서 열린 집합인 것이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|161}}
 
* 위상 공간 X가 국소 경로 연결 공간일 필요충분조건은 X 상의 임의의 열린 집합 U에 대해 U의 모든 경로 연결 성분이 X에서 열린 집합인 것이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|161}}
국소 경로 연결 공간 속에서 다음이 성립한다.
* 국소 경로 연결 공간에서 연결 성분과 경로 연결 성분은 동치인 개념이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|161}}
* 국소 경로 [[연결 공간의성분]]과 열린[[경로 연결 부분성분]]의 공간은 경로 연결개념이 공간이다[[동치]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|162161}}
* 국소 연결공간 X와 위상[[연결 공간|연결]] Y에[[열린집합]]과 대해[[경로 X에서 Y로의연결]] [[몫사상열린집합]] 존재한다면,개념이 Y도 국소연결공간이다[[동치]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|163162}}
 
국소 연결 공간의 [[몫공간]]은 국소 연결 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|163}}
 
== 예 ==
[[위상수학자의 사인 곡선]]은 [[연결 공간]]이지만 국소 연결 공간이 아니다. (0, 1)에서 이 점을 중심으로 하는 적당히 작은 ε-구를 잡으면, (0, 1)을 포함하는 [[연결 성분]]은 열린 집합이[[열린집합]]이 아니기 때문이다.
 
[[빗 공간]](comb space)은 [[경로 연결 공간]]이지만 국소 경로 연결 공간이 아니다.
* {{매스월드|id=LocallyPathwise-Connected|title=Locally pathwise-connected}}
* {{매스월드|id=ConnectedimKleinen|title=Connected im Kleinen}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Locally_connected_space|제목=Locally connected space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Locally_path-connected_space|제목=Locally path-connected space|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://topospaces.subwiki.org/wiki/Connected_not_implies_locally_connected|제목=Connected not implies locally connected|웹사이트=Topospaces|언어=en}}
 
== 같이 보기 ==
* [[국소 단일 연결 공간]]
 
[[분류:위상 공간의 성질]]