제2 가산 공간

일반위상수학에서, 제2 가산 공간(第二可算空間, 영어: second-countable space)은 가산 기저를 갖는 위상 공간이다.

정의

위상 공간 $X$의 무게(영어: weight) $w(X)$는 $X$의 기저들의 집합의 크기 가운데 최소인 기수이다. (기수의 순서는 정렬 순서이므로 이는 항상 존재한다.)

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 제2 가산 공간이라고 한다.

• $w(X)\leq \aleph _{0}$
• $X$는 가산 기저를 갖는다.
• $X$ 위의 임의의 기저 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$에 대하여, ${\mathcal {B}}'\subset {\mathcal {B}}$이며 기저를 이루는 가산 집합 ${\mathcal {B}}'$이 존재한다.

성질

모든 제2 가산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 제1 가산 공간이다.
• 분해 가능 공간이다.
• 린델뢰프 공간이다.

거리화 가능 공간 $M$에 대하여, 다음 성질들이 서로 동치이다.

• $M$은 제2 가산 공간이다.
• $M$은 분해 가능 공간이다.
• $M$은 린델뢰프 공간이다.

우리손 거리화 정리(영어: Urysohn metrization theorem)에 따르면, 모든 제2 가산 정칙 공간은 거리화 가능 공간이다.

제2 가산성을 보존하는 연산

임의의 위상 공간 $X$ 위의 기저 ${\mathcal {B}}$ 및 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, $\{B\cap Y\colon B\in {\mathcal {B}}\}$는 $Y$ 위의 기저를 이룬다. 따라서

$w(Y)\leq w(X)$

이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다.

임의의 곱공간

$X=\prod _{i\in I}X_{i}$

및 각 $X_{i}$ 위의 기저 ${\mathcal {B}}_{i}\subseteq {\mathcal {P}}(X_{i})$에 대하여,

$\left\{\prod _{i\in I}B_{i}\colon B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i},\;\{i\in I\colon B_{i}\neq X_{i}\}<\aleph _{0}\right\}$

는 $X$ 위의 기저를 이룬다. 따라서

$w(X)\leq \sum _{J\subseteq I}^{J<\aleph _{0}}\prod _{i\in J}w(X_{i})\leq \max \left(\{w(X_{i})\colon i\in I\}\cup \{|I|,\aleph _{0}\}\right)$

이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 곱공간은 제2 가산 공간이며, 임의의 무한 기수 $\kappa$에 대하여 $\kappa$개 이하의, 무게가 $\kappa$ 이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는 $\kappa$ 이하이다.

그러나 제2 가산 공간의 몫공간은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다.

위상 공간들의 집합 $\{X_{i}\}_{i\in I}$의 분리합집합

$X=\bigsqcup _{i\in I}X_{i}$

의 무게는 각 성분들의 무게들의 합이다.

$w(X)=\sum _{i\in I}w(X_{i})$

따라서, 가산 개의 제2 가산 공간들의 분리합집합은 제2 가산 공간이다. 그러나 비가산 개의 위상 공간들의 분리합집합은 (위상 공간들이 공집합이 아니라면) 제2 가산 공간이 아니다.

크기 관련 성질

제2 가산 공간의 열린집합의 수는 $2^{\aleph _{0}}$ 이하이다.

제2 가산 공간 위의 임의의 기저는 가산 부분 기저를 갖는다.

예

흔히 볼 수 있는 대부분의 공간들이 제2 가산 공간이다.

• 유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$
• 힐베르트 차원이 $\aleph _{0}$ 이하인 힐베르트 공간
• 가산 개의 연결 성분을 갖는 다양체 (다양체 = 파라콤팩트 하우스도르프 국소 유클리드 공간)

긴 직선은 T₄ 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다.

이산 공간의 경우, 최소의 기저는 모든 가능한 한원소 집합들로 구성된다. 따라서, 이산 공간 $X$의 밀도는 그 집합의 크기와 같다.

$w(X)=|X|$

특히, 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 가산 집합인 것과 동치이다.

비이산 공간 $X$의 경우, 최소의 기저는 (공집합이 아닐 경우) $|X|$이다. 따라서, 비이산 공간 $X$의 밀도는 다음과 같다.

$w(X)=\min\{1,|X|\}$

특히, 모든 비이산 공간은 제2 가산 공간이다.

참고 문헌

• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

같이 보기

• 제1 가산 공간
• 분해 가능 공간

바깥 고리

• “Second axiom of countability”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Second countable topology”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Second-countable space”.