파라콤팩트 공간

일반위상수학에서, 파라콤팩트 공간(paracompact空間, 영어: paracompact space)은 위상 공간으로서, 콤팩트 공간을 새로운 방식으로 정의하여 만든 공간이다. 미분위상수학 및 미분기하학 등의 분야에 아주 유용하게 사용된다. 이들 분야에서 다루는 많은 공간들이 파라콤팩트 공간이며, 이 공간은 단위 분할 성질을 가져서 국소적인 성질을 통해 전체적인 성질을 정의할 수 있기 때문에 리만 계량, 미분 형식의 적분 등 여러 주제에서 유용하기 때문이다.^:68

정의

파라콤팩트 공간은 다음과 같이 정의된다.^:68

• 위상 공간 X가 파라콤팩트 공간일 필요충분조건은 X의 모든 열린 덮개가 국소적 유한(locally finite) 열린 세분을 갖는 것이다.

X의 열린 덮개 $\{U_{\alpha }\}$가 국소적 유한이라는 것은, x∈X마다 그 근방 $W_{x}$ 가 존재하여 유한 개의 $\alpha$ 에 대해서만 $W_{x}\cap U_{\alpha }\neq \phi$ 을 만족한다는 의미이다.^:68

성질

파라콤팩트 공간은 다음과 같은 여러 유용한 성질들을 갖는다.

• 콤팩트 공간은 파라콤팩트 공간이다.
• 파라콤팩트 공간은 메조콤팩트 공간이자 준파라콤팩트 공간이다.
• 파라콤팩트인 희박 콤팩트 공간은 콤팩트 공간이다.
• 준파라콤팩트인 정칙 공간은 파라콤팩트 공간이다.
• 파라콤팩트 공간의 닫힌 부분 공간은 파라콤팩트 공간이다.^:254
• 파라콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 곱공간은 파라콤팩트 공간이다.^:260
• 국소 콤팩트 연결 위상군은 파라콤팩트 공간이다.^:261

한편, 일반적으로 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않으므로 파라콤팩트성은 유전적 성질이 아니다. 또한, 콤팩트 공간들을 모으면 티호노프 정리에 의해 그 곱공간 역시 콤팩트 공간이 되는 것과는 다르게, 파라콤팩트 공간의 임의의 곱공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.^:253

하우스도르프 파라콤팩트 공간

파라콤팩트 공간에 하우스도르프 공간의 조건을 추가하면, 다음과 같이 여러 유용한 성질들이 성립한다.

• (디외도네의 정리) 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 T₄ 공간이다.^:253
• (모리타의 정리) T₄ 린델뢰프 공간은 파라콤팩트 공간이다.^:257
  • 디외도네의 정리와 모리타의 정리의 따름정리 : 하우스도르프 린델뢰프 공간에 대하여, 정칙 공간 조건과 파라콤팩트 조건은 동치이다.
• (스미르노프 거리화 정리) 파라콤팩트 하우스도르프 국소 거리화 가능 공간의 조건은 거리화 가능 공간 조건과 동치이다.^:261
• 위상 공간 X, Y에 대해 X에서 Y로의 완전사상이 존재한다면, Y가 파라콤팩트일 때 X도 파라콤팩트이고, Y가 파라콤팩트 하우스도르프 공간일 때 X도 파라콤팩트 하우스도르프 공간이다.^:260
• T₄ 공간의 유한 개 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.^:260
• T₄ 공간 $X$ 속의 가산 개 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 내부가 이루는 집합족이 X의 덮개를 이룰 때, 그 합집합 역시 파라콤팩트 집합이다.^:260

역사

1944년 니콜라 부르바키의 프랑스 수학자 장 디외도네가 처음으로 제시하였다.

바깥 고리

• “Paracompact space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Paracompact space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Paracompact topological space”. 《nLab》 (영어). 
• “Paracompact space”.