일반위상수학

위상수학의 한 분과로서 일반위상수학(一般位相數學, 영어: general topology) 또는 점-집합 위상수학(point-set topology)은 위상 공간을 일반적으로 그것을 정의하는 집합론적 공리만으로 다루는 분야이다. 그러므로 일반위상수학에서 얻은 결과는 다른 모든 위상 공간을 다루는 분야에서 사용할 수 있다.

역사

일반위상수학은 주로 다음과 같은 분과의 문제를 다루면서 정립되었다.

• 실수 집합의 부분집합에 대한 연구
• 다양체 개념에 대한 연구
• 거리 공간에 대한 연구, 특히 그 중에서도 현대에는 함수해석학에서 다루는 노름 공간에 대한 연구.

일반위상수학은 1940년 무렵 오늘날과 비슷한 체계를 갖추었다. 이 무렵 수학의 다른 모든 분과에 응용될 수 있는 연속 등의 개념이 일반적으로 확립되었다.

대상

구체적으로 일반위상수학에서는 다음과 같은 대상을 일반적으로 정의하고 그에 관한 정리(예컨대, 티호노프의 정리나 우리손의 보조정리)들을 다룬다.

• 열린 집합, 닫힌 집합
• 내부, 폐포, 근방
• 콤팩트 공간, 연결 공간
• 연속 함수
• 수열의 극한, 그물, 필터
• 분리 공리, 가산 공리, 거리 공간

보다 특수한 개념들에 집중하는 위상수학의 다른 분과로는 대수적 위상수학(호모토피와 호몰로지 등), 기하적 위상수학(다양체의 여러 기하학적/위상수학적 성질), 미분위상수학(미분다양체) 등이 있는데, 일반위상수학은 이들 분과 모두에서 사용할 수 있는 개념적 기초를 제공한다.

일반위상수학의 중요한 변형 중 하나로 점 없는 위상수학이 있는데, 이는 위상 공간을 다룸에 있어 점의 집합으로 생각하는 것을 피하고, 격자의 연구와 틀(영어: frame)과 장소(영어: locale)의 범주론적 연구를 통해 위상적 개념을 다루는 접근법을 취한다.

참고 문헌

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바깥 고리

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