모듈러 곡선: 두 판 사이의 차이
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[[수론]]과 [[대수기하학]]에서, '''모듈러 곡선'''(modular曲線, {{llang|en|modular curve}})은 [[상반평면]]의 [[모듈러 군]]의 부분군에 대한 [[몫공간]]인 [[리만 곡면]]이다.<ref name="DS">{{서적 인용|이름=Fred|성=Diamond|공저자=Jerry Shurman|제목=A first course in modular forms|출판사=Springer|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=228|날짜=2005|isbn=978-0-387-23229-4|doi=10.1007/b138781|zbl=1062.11022|언어고리=en}}</ref> [[타원곡선]]과 [[모듈러 군]]의 이론과 밀접한 관계를 갖는다. |
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''X''(''N'')의 경우, 타원곡선 <math>E</math> 위에 존재하는 준위 구조는 ([[아벨 군]]으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들 <math>p,q\in E</math>이다.<ref name="Silverman">{{ |
''X''(''N'')의 경우, 타원곡선 <math>E</math> 위에 존재하는 준위 구조는 ([[아벨 군]]으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들 <math>p,q\in E</math>이다.<ref name="Silverman">{{서적 인용|제목=The arithmetic of elliptic curves|총서=Graduate Texts in Mathematics|issn=0072-5285|권=106|성=Silverman|이름=Joseph H.|판=2판|날짜=2009|출판사=Springer|isbn=978-0-387-09493-9|zbl=1194.11005|doi=10.1007/978-0-387-09494-6|언어고리=en}}</ref>{{rp|440}} |
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* <math>p</math>와 <math>q</math>의 차수는 <math>N</math>의 약수이다. 즉, <math>Np=Nq=0</math>이다. |
* <math>p</math>와 <math>q</math>의 차수는 <math>N</math>의 약수이다. 즉, <math>Np=Nq=0</math>이다. |
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* <math>p</math>와 <math>q</math>의 [[베유 쌍]](Weil pairing)은 <math>e_N(p,q)=\exp(2\pi i/N)</math>이다. |
* <math>p</math>와 <math>q</math>의 [[베유 쌍]](Weil pairing)은 <math>e_N(p,q)=\exp(2\pi i/N)</math>이다. |
2015년 5월 25일 (월) 20:13 판
수론과 대수기하학에서, 모듈러 곡선(modular曲線, 영어: modular curve)은 상반평면의 모듈러 군의 부분군에 대한 몫공간인 리만 곡면이다.[1] 타원곡선과 모듈러 군의 이론과 밀접한 관계를 갖는다.
정의
모듈러 군 의 부분군 가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰 에 대하여 라면, 를 모듈러 군의 합동 부분군(合同部分群, 영어: congruence subgroup)이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수 을 합동 부분군 의 준위(영어: level 레벨[*])라고 한다.
Γ(1)은 저연스럽게 상반평면 에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군 또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간 를 (비콤팩트) 모듈러 곡선 라고 한다. 이는 일반적으로 콤팩트하지 않은 리만 곡면이다.
콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 확장 상반평면(영어: extended upper-half plane)
을 정의하자. 그렇다면 콤팩트 모듈러 곡선을 확장 상반평면의 몫공간으로 정의할 수 있다.[1]:58
대표적인 합동 부분군 Γ0(N), Γ1(N) 및 Γ(N)에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 X0(N), X1(N), X(N)이라고 적는다.
타원점과 첨점
합동 부분군 의 타원점 는 그 점에서의 -작용에 대한 안정자군 가 자명하지 않는 (보다 더 큰) 점이다.[1]:48 이 경우, 의 크기를 타원점 의 계수(영어: order)라고 한다. 타원점의 계수는 항상 2 또는 3임을 보일 수 있다. 타원점은 의 모듈러 곡선 위의 한 점으로 간주할 수 있다.
합동 부분군 의 첨점(尖點, 영어: cusp)은 : 의 원소이다. 즉, 모듈러 곡선을 콤팩트화할 때 추가한 점들이다.
타원곡선과의 관계
모듈러 곡선은 소위 준위 구조(영어: level structure)를 가진 복소 타원곡선의 모듈러스 공간이다. 예를 들어, 은 복소 구조 이외에 아무런 구조를 갖지 않는 복소 타원곡선의 모듈러스 공간이다. 는 타원 곡선
과 대응된다. 여기서 는 에 의하여 생성되는 2차원 격자이며, 는 임의의 0이 아닌 복소수다. (서로 다른 를 취해도 동형의 타원곡선을 얻는다.)
X(N)
X(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선에서, 다음 조건을 만족시키는 한 쌍의 점들 이다.[2]:440
- 와 의 차수는 의 약수이다. 즉, 이다.
- 와 의 베유 쌍(Weil pairing)은 이다.
복소수체의 경우, 두 차 점
의 베유 쌍은
이다.
이에 따라서 는 N차 꼬임 부분군
의 기저를 이룬다. 구체적으로, 임의의 에 대하여 이는
로 주어진다.
X0(N)
X0(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 (아벨 군으로 간주한) 타원곡선의 N차 순환 부분군
이다.[2]:440 구체적으로, 에 대하여 이는
이다.
X1(N)
X1(N)의 경우, 타원곡선 위에 존재하는 준위 구조는 타원곡선에서 계수(order)가 인 점 (즉, 인 )이다.[2]:439 구체적으로, 에 대하여 이는
이다.
성질
모듈러 곡선의 기하는 잘 알려져 있다. 일반적으로, 합동 부분군 의 콤팩트 모듈러 곡선 의 종수(genus)는 다음과 같다.[1]:68
여기서
- 는 부분군의 지표다.
- 는 의 계수가 2인 타원점들의 수이다.
- 는 계수가 3인 타원점들의 수이다.
- 는 의 첨점들의 수이다.
예
Γ(1)
모듈러 군 의 경우, 이에 대응하는 모듈러 곡선 은 리만 구 와 동형이다. 이 동형사상은 j-불변량에 의하여 주어진다.
이는 종수 공식으로 다음과 같이 계산할 수 있다. Γ(1)의 타원점과 첨점은 다음과 같다.
- 계수가 2인 타원점 1개 ()
- 계수가 3인 타원점 1개 ()
- 첨점 1개 ()
를 가진다. 따라서
이다. 이는 리만 구에 해당한다.
Γ(N)
Γ(N)의 경우 이면 타원점이 없다.[1]:57 이 경우 부분군의 지표는 다음과 같다.[1]:106
또한, 이 경우 개의 첨점이 있다.[1]:106 따라서 이 경우 종수는
이다. 예를 들어, 인 경우 세 개의 첨점을 가지며, 이에 대응하는 모듈러 곡선의 종수는
이다.
N이 소수 p일 때는 종수 공식은 다음과 같이 간단해진다. (OEIS의 수열 A191590)
따라서 Γ1(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.[1]:107 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A001766), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A000114), 종수는 (OEIS의 수열 A001767)이다.
N | 지표 | 첨점의 수 | 계수 2 타원점의 수 | 계수 3 타원점의 수 | 종수 |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
2 | 6 | 3 | 0 | 0 | 0 |
3 | 12 | 4 | 0 | ||
4 | 24 | 6 | 0 | ||
5 | 60 | 12 | 0 | ||
6 | 72 | 12 | 1 | ||
7 | 168 | 24 | 3 | ||
8 | 192 | 24 | 5 | ||
9 | 324 | 36 | 10 | ||
10 | 360 | 36 | 13 | ||
11 | 66 | 60 | 26 |
X(1)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 j-불변량 에 의해 주어지고, X(2)의 경우, 리만 구면으로의 구체적인 동형사상은 모듈러 람다 함수 에 의해 주어진다.
Γ1(N)
Γ1(2)와 Γ1(3)는 각각 하나의 타원점을 가진다. Γ1(N)의 경우 N>3이면 타원점이 없다.[1]:57 Γ1(N)의 지표는
(는 오일러 피 함수이다.) 따라서 Γ1(N)의 모듈러 곡선의 성질은 다음 표와 같다.[1]:107[3] 여기서 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A000114), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A029936), 종수는 (OEIS의 수열 A029937)이다.
N | 지표 | 첨점의 수 | 계수 2 타원점의 수 | 계수 3 타원점의 수 | 종수 |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
2 | 3 | 2 | 1 | 0 | 0 |
3 | 4 | 2 | 0 | 1 | 0 |
4 | 6 | 3 | 0 | 0 | 0 |
5 | 12 | 4 | 0 | ||
6 | 12 | 4 | 0 | ||
7 | 24 | 6 | 0 | ||
8 | 24 | 6 | 0 | ||
9 | 36 | 8 | 0 | ||
10 | 36 | 8 | 0 | ||
11 | 60 | 10 | 1 | ||
12 | 48 | 10 | 0 |
Γ0(N)
Γ0(N)의 경우, 타원점과 첨점들의 수는 다음과 같다.
여기서 는 오일러 피 함수이고, 는 르장드르 기호이다. 는 가 의 인수라는 뜻이다. 는 가 의 소인수라는 뜻이다.
이 경우 부분군의 지표는 (OEIS의 수열 A001615), 계수 2의 타원점의 수는 (OEIS의 수열 A000089), 계수 3의 타원점의 수는 (OEIS의 수열 A000086), 첨점의 수는 (OEIS의 수열 A001616), 모듈러 곡선의 종수는 (OEIS의 수열 A001617)이다.
N | 지표 | 첨점의 수 | 계수 2 타원점의 수 | 계수 3 타원점의 수 | 종수 |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
2 | 3 | 2 | 1 | 0 | 0 |
3 | 4 | 2 | 0 | 1 | 0 |
4 | 6 | 3 | 0 | 0 | 0 |
5 | 6 | 2 | 2 | 0 | 0 |
6 | 12 | 4 | 0 | 0 | 0 |
7 | 8 | 2 | 0 | 2 | 0 |
8 | 12 | 4 | 0 | 0 | 0 |
9 | 12 | 4 | 0 | 0 | 0 |
10 | 18 | 4 | 2 | 0 | 0 |
11 | 12 | 2 | 0 | 0 | 1 |
참고 문헌
- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 아 자 차 카 Diamond, Fred; Jerry Shurman (2005). 《A first course in modular forms》. Graduate Texts in Mathematics 228. Springer. doi:10.1007/b138781. ISBN 978-0-387-23229-4. ISSN 0072-5285. Zbl 1062.11022.
- ↑ 가 나 다 Silverman, Joseph H. (2009). 《The arithmetic of elliptic curves》. Graduate Texts in Mathematics 106 2판. Springer. doi:10.1007/978-0-387-09494-6. ISBN 978-0-387-09493-9. ISSN 0072-5285. Zbl 1194.11005.
- ↑ 가 나 Kim, Chang Heon; Ja Kyung Koo (1996년 10월). “On the genus of some modular curves of level N”. 《Bulletin of the Australian Mathematical Society》 54 (2): 291–297. doi:10.1017/S0004972700017755.
바깥 고리
- Panchishkin, A.A. (2001). “Modular curve”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.