극한 (범주론)

수학의 한 분야인 범주론에서 극한(極限, 영어: limit)은 수학의 여러 분야에서 사용되는 보편적 구조물들(예로서 곱이나 역극한 등)이 갖는 공통된 성질을 보존하며 일반화시킨 추상적인 개념이다. 그 쌍대 개념인 쌍대극한(雙對極限, 영어: colimit)은 서로소 합집합이나 직합 등의 일반화이다. 극한과 쌍대극한은 보편 사상 및 수반함자 등의 범주론적 개념과 밀접한 연관이 있다.

정의

J와 C가 범주이고 F가 J에서 C로의 함자이며 N이 C의 대상이라 하자. 이때 함자 F의 뿔이란 J의 임의의 대상 X에 대해 N에 다음의 조건을 만족하는 사상 ψ_X : N → F(X)가 주어진 것이다:

임의의 f : X → Y ∈ J에 대해 F(f) o ψ_X = ψ_Y.

함자의 극한이란 한마디로 보편뿔이다. 구체적으로 말해, F의 뿔 (L, φ_X)이 F의 극한이라는 것은 F의 임의의 뿔 (N, ψ_X)에 대해 유일한 사상 u : N → L이 존재해서 모든 X에 대해 φ_X o u = ψ_X을 만족시키는 경우를 말한다. 이를 두고 사상 ψ_X들이 L을 통해 u로 유일 분해된다고 말할 수도 있다.

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

바깥 고리

• “Inductive limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Projective limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “System (in a category)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Limit” (영어). 
• “Colimit” (영어).