전사 함수: 두 판 사이의 차이
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== 성질 == |
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임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>, <math>g\colon Y\to Z</math>가 주어졌다고 하자. |
임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>, <math>g\colon Y\to Z</math>가 주어졌다고 하자. |
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* 만약 <math>f</math>와 <math>g</math>가 둘 다 |
* 만약 <math>f</math>와 <math>g</math>가 둘 다 전사 함수라면, <math>g\circ f</math> 역시 전사 함수이다. |
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* 만약 <math>g\circ f</math>가 |
* 만약 <math>g\circ f</math>가 전사 함수라면, <math>g</math> 역시 전사 함수이다. 하지만 <math>f</math>가 전사 함수일 필요는 없다. |
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두 집합 <math>X</math>, <math>Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다. |
두 집합 <math>X</math>, <math>Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다. |
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* 전사 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 존재하거나, 아니면 <math>Y=\varnothing</math>이다. |
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* <math>|X|\ |
* <math>|X|\ge|Y|</math>이다. 여기서 <math>|\cdot|</math>는 [[집합의 크기]]이다. |
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[[공역]]의 [[집합의 크기|크기]]가 0 또는 1인 함수는 항상 전사 함수이다. (공역이 공집합이라면, 정의역 또한 공집합이어야만 함수가 존재할 수 있다.) |
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== 예 == |
== 예 == |
2015년 3월 4일 (수) 14:01 판
수학에서, 전사 함수(全射函數, 영어: surjection, surjective function)는 공역과 치역이 같은 함수이다.
정의
두 집합 , 사이의 함수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 전사 함수라고 한다.
- 임의의 에 대하여, 인 가 존재한다.
- 공역과 치역이 같다. 즉, 이다.
- 는 집합의 범주에서의 전사 사상이다. 즉, 임의의 집합 및 함수 에 대하여, 만약 라면 이다.
- 는 집합의 범주에서의 분할 전사 사상이다. 즉, 가 위의 항등 함수를 이루는 함수 가 존재한다. (이는 선택 공리를 가정하지 않으면 성립하지 않는다.)
성질
임의의 함수 , 가 주어졌다고 하자.
- 만약 와 가 둘 다 전사 함수라면, 역시 전사 함수이다.
- 만약 가 전사 함수라면, 역시 전사 함수이다. 하지만 가 전사 함수일 필요는 없다.
두 집합 , 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 전사 함수 가 존재하거나, 아니면 이다.
- 이다. 여기서 는 집합의 크기이다.
공역의 크기가 0 또는 1인 함수는 항상 전사 함수이다. (공역이 공집합이라면, 정의역 또한 공집합이어야만 함수가 존재할 수 있다.)
예
정의역과 공역이 둘 다 실수 집합 인 함수
는 전사 함수가 아닌데, 인 실수 가 존재하지 않기 때문이다. 그러나 만약 공역이 대신, 음이 아닌 실수의 집합 이라면, 함수
는 전사 함수이다.
역사
유럽 언어에서 쓰이는 용어 영어: surjection 서젝션[*], 프랑스어: surjection 쉬르젝시옹[*] 등은 단사를 뜻하는 영어: injection 인젝션[*], 프랑스어: injection 앵젝시옹[*]에서, 접두사 라틴어: in 인[*](안으로)을 프랑스어: sur 쉬르[*](위로)로 치환한 것이다. 이는 수학 용어로는 니콜라 부르바키가 최초로 사용하였다.
참고 문헌
- Halmos, Paul R. (1974). 《Naive set theory》. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-1645-0. ISBN 978-0-387-90092-6. ISSN 0172-6056. MR 0453532. Zbl 0287.04001.
바깥 고리
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Surjection”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Surjection”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.