전사 함수: 두 판 사이의 차이

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
내용 삭제됨 내용 추가됨
편집 요약 없음
11번째 줄: 11번째 줄:
== 성질 ==
== 성질 ==
임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>, <math>g\colon Y\to Z</math>가 주어졌다고 하자.
임의의 함수 <math>f\colon X\to Y</math>, <math>g\colon Y\to Z</math>가 주어졌다고 하자.
* 만약 <math>f</math>와 <math>g</math>가 둘 다 단사 함수라면, <math>g\circ f</math> 역시 단사 함수이다.
* 만약 <math>f</math>와 <math>g</math>가 둘 다 전사 함수라면, <math>g\circ f</math> 역시 전사 함수이다.
* 만약 <math>g\circ f</math>가 단사 함수라면, <math>f</math> 역시 단사 함수이다. 하지만 <math>g</math>가 단사 함수일 필요는 없다.
* 만약 <math>g\circ f</math>가 전사 함수라면, <math>g</math> 역시 전사 함수이다. 하지만 <math>f</math>가 전사 함수일 필요는 없다.


두 집합 <math>X</math>, <math>Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
두 집합 <math>X</math>, <math>Y</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 단사 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 존재한다.
* 전사 함수 <math>f\colon X\to Y</math>가 존재하거나, 아니면 <math>Y=\varnothing</math>이다.
* <math>|X|\le|Y|</math>이다. 여기서 <math>|\cdot|</math>는 [[집합의 크기]]이다.
* <math>|X|\ge|Y|</math>이다. 여기서 <math>|\cdot|</math>는 [[집합의 크기]]이다.

[[공역]]의 [[집합의 크기|크기]]가 0 또는 1인 함수는 항상 전사 함수이다. (공역이 공집합이라면, 정의역 또한 공집합이어야만 함수가 존재할 수 있다.)


== 예 ==
== 예 ==

2015년 3월 4일 (수) 14:01 판

전사 함수의 예

수학에서, 전사 함수(全射函數, 영어: surjection, surjective function)는 공역치역이 같은 함수이다.

정의

집합 , 사이의 함수 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 전사 함수라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 가 존재한다.
  • 공역치역이 같다. 즉, 이다.
  • 는 집합의 범주에서의 전사 사상이다. 즉, 임의의 집합 함수 에 대하여, 만약 라면 이다.
  • 는 집합의 범주에서의 분할 전사 사상이다. 즉, 위의 항등 함수를 이루는 함수 가 존재한다. (이는 선택 공리를 가정하지 않으면 성립하지 않는다.)

성질

임의의 함수 , 가 주어졌다고 하자.

  • 만약 가 둘 다 전사 함수라면, 역시 전사 함수이다.
  • 만약 가 전사 함수라면, 역시 전사 함수이다. 하지만 가 전사 함수일 필요는 없다.

두 집합 , 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 전사 함수 가 존재하거나, 아니면 이다.
  • 이다. 여기서 집합의 크기이다.

공역크기가 0 또는 1인 함수는 항상 전사 함수이다. (공역이 공집합이라면, 정의역 또한 공집합이어야만 함수가 존재할 수 있다.)

정의역과 공역이 둘 다 실수 집합 인 함수

는 전사 함수가 아닌데, 인 실수 가 존재하지 않기 때문이다. 그러나 만약 공역이 대신, 음이 아닌 실수의 집합 이라면, 함수

는 전사 함수이다.

역사

유럽 언어에서 쓰이는 용어 영어: surjection 서젝션[*], 프랑스어: surjection 쉬르젝시옹[*] 등은 단사를 뜻하는 영어: injection 인젝션[*], 프랑스어: injection 앵젝시옹[*]에서, 접두사 라틴어: in [*](안으로)을 프랑스어: sur 쉬르[*](위로)로 치환한 것이다. 이는 수학 용어로는 니콜라 부르바키가 최초로 사용하였다.

참고 문헌

바깥 고리

같이 보기