동형 사상: 두 판 사이의 차이

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2015년 2월 20일 (금) 13:37 판

수학에서, 동형 사상(同型寫像, 영어: isomorphism)은 서로 구조가 같은 두 대상 사이에, 모든 구조를 보존하는 사상이다. 두 대상 사이에 동형 사상이 존재하는 경우 서로 동형(同型, 영어: isomorphic)이라고 하며, 서로 동형인 두 대상은 구조가 같아 구조로서 구별할 수 없다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$ 에서, 동형 사상은 다음 조건을 만족시키는 사상 $f\colon X\to Y$ 이다.

역사상이 존재한다. 즉, $f\circ g=\operatorname {id} _{Y}$ , $g\circ f=\operatorname {id} _{X}$ 인 사상 $g\colon Y\to X$ 가 존재한다.

두 대상 사이에 동형 사상이 존재하면, 서로 동형이라고 한다. 시작과 끝이 같은 동형 사상을 자기동형사상이라고 한다.

모든 전사 단사 사상이 동형 사상을 이루는 범주를 균형 범주(영어: balanced category)라고 한다.

성질

서로 동형인 것은 동치 관계를 이룬다. 특히, 항등 함수가 동형 사상이므로, 모든 대상은 스스로에게 동형이다.

임의의 범주의 임의의 사상에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

동형 사상이다.
단사 사상이자 분할 전사 사상이다.
전사 사상이자 분할 단사 사상이다.

일반적으로, 단사 사상이자 전사 사상이지만 동형 사상이 아닌 사상들이 존재할 수 있다.

구체적 범주 ${\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$ 에서, 자유 함자(망각 함자 ${\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$ 의 왼쪽 수반 함자 $\operatorname {Set} \to {\mathcal {C}}$ )가 존재한다면, ${\mathcal {C}}$ 의 사상에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

동형 사상이다.
전단사 함수이다.

특히, 대수 구조 다양체의 범주에서는 자유 함자가 항상 존재하므로, 동형 사상은 전단사 준동형 사상이다.

모든 아벨 범주와 모든 토포스는 균형 범주이다.

예

여러 범주에서, 동형 사상들은 특별한 이름이 붙는다.

집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$ 에서, 동형 사상은 전단사 함수이다.
대수 구조 다양체의 범주(군, 환, 가군 등)에서, 동형 사상은 전단사 준동형 사상이다.
위상 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {Top}$ 에서, 동형 사상은 위상 동형 사상이다.
위상 공간과 호모토피류들의 범주 $\operatorname {hTop}$ 에서, 동형 사상은 호모토피 동치이다.
매끈한 다양체의 범주에서, 동형 사상은 미분 동형 사상이다.

준군에서는 정의에 따라 모든 사상이 동형 사상이다. 특히, 군을 하나의 대상만을 갖는 범주로 간주하였을 때, 모든 사상은 동형 사상이다.

모노이드를 하나의 대상만을 갖는 범주로 간주하였을 때, 동형 사상들은 가역원들이다.

균형 범주가 아닌 범주

위상 공간의 범주는 균형 범주가 아니다. 이 범주에서, 전사 단사 사상은 전단사 함수인 연속 함수인데, 이는 위상 동형 사상보다 더 약한 조건이다. 그러나 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주는 균형 범주이다.

환의 범주는 균형 범주가 아니다. 예를 들어, 포함 사상 $\mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Q}$ 는 전사 사상이며 단사 사상이지만, 동형 사상이 아니다.

바깥 고리

“Isomorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Isomorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Isomorphic”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Isomorphism”.
“Balanced category”.

같이 보기

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 * [[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math>에서, 동형 사상은 [[전단사 함수]]이다.
 * [[대수 구조 다양체]]의 범주(군, 환, 가군 등)에서, 동형 사상은 [[전단사]] [[준동형 사상]]이다.
-* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>에서, 동형 사상은 [[위상 동형 사상]]이다.
+* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[연속 함수]]의 범주 <math>\operatorname{Top}</math>에서, 동형 사상은 [[위상동형사상|위상 동형 사상]]이다.
 * [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[호모토피류]]들의 범주 <math>\operatorname{hTop}</math>에서, 동형 사상은 [[호모토피 동치]]이다.
-* [[매끈한 다양체]]의 범주에서, 동형 사상은 [[미분동형사상]]이다.
+* [[매끈한 다양체]]의 범주에서, 동형 사상은 [[미분동형사상|미분 동형 사상]]이다.
 [[준군]]에서는 정의에 따라 모든 사상이 동형 사상이다. 특히, [[군 (수학)|군]]을 하나의 대상만을 갖는 범주로 간주하였을 때, 모든 사상은 동형 사상이다.
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 === 균형 범주가 아닌 범주 ===
-[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주는 균형 범주가 아니다. 이 범주에서, 전사 단사 사상은 [[전단사 함수]]인 [[연속 함수]]인데, 이는 [[위상 동형 사상]]보다 더 약한 조건이다.
+[[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 범주는 균형 범주가 아니다. 이 범주에서, 전사 단사 사상은 [[전단사 함수]]인 [[연속 함수]]인데, 이는 [[위상동형사상|위상 동형 사상]]보다 더 약한 조건이다. 그러나 [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]]의 범주는 균형 범주이다.
 [[환 (수학)|환]]의 범주는 균형 범주가 아니다. 예를 들어, 포함 사상 <math>\mathbb Z\hookrightarrow\mathbb Q</math>는 [[전사 사상]]이며 [[단사 사상]]이지만, 동형 사상이 아니다.