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2015년 2월 14일 (토) 10:34 판

대수기하학에서, 대수다양체(代數多樣體, 영어: algebraic variety)란 다항식들로 주어지는 방정식의 해들의 집합이다. 고전적인 대수기하학에서 다루는 기본적인 대상이다. 방정식을 정의하는 공간에 따라 아핀 대수다양체와 사영 대수다양체 등이 있다.

정의

$K$ 가 대수적으로 닫힌 체라고 하자. $k$ 에 대한 대수다양체는 국소적으로 아핀 대수다양체와 동형인 환 달린 공간이다. 즉, 환 달린 공간 $X$ 위에 열린 덮개 $\{U_{\alpha }\}$ 가 존재하여, $U_{\alpha }$ 각각이 아핀 대수다양체를 이루는 경우다.^[1]^:58

이 정의는 스킴 이론을 사용하여 서술할 수 있다. 대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대하여, $K$ -대수다양체는 다음 조건들을 모두 만족시키는 $K$ -스킴 $X\to \operatorname {Spec} K$ 이다.^[1]^:105

기약 스킴(영어: irreducible scheme)이다. 이는 대수다양체를 기약 대수 집합으로 국한시키는 것이며, 위상 공간으로서의 연결성보다 더 강한 조건이다.
축소 스킴(영어: reduced scheme)이다. 이는 $K[x,y]/(y^{2})$ 와 같은 멱영원의 부재를 의미한다. 이러한 멱영원은 기하학적으로 싹으로 해석할 수 있다.
분리 스킴(영어: separated scheme)이다. 예를 들어, 두 개의 아핀 직선 $\mathbb {A} _{K}^{1}$ 을, 0을 제외한 열린 집합 $\mathbb {A} _{K}^{1}\setminus \{0\}$ 에서 이어붙여, 원점이 두 개가 있는 아핀 직선을 만들 수 있는데, 이는 분리 스킴이 아니다.^[1]^{:75–76, Example 2.3.6} 이는 위상 공간의 하우스도르프 조건에 대응한다.
사상 $X\to \operatorname {Spec} K$ 는 유한형 사상이다. 이는 대수다양체가 국소적으로 다항식환 $K[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]$ 의 몫대수의 꼴임을 뜻하며, 이에 따라 대수다양체는 유한한 차원을 갖는다.

종류

고전적 대수기하학에서는 보통

아핀 다양체(affine代數多樣體, 영어: affine variety)
준아핀 다양체(準affine代數多樣體, quasiaffine variety)
사영 다양체(射影代數多樣體, 영어: projective variety)
준사영 다양체(準射影代數多樣體, 영어: projective variety)

를 정의한다.

아핀 다양체

$K$ 가 대수적으로 닫힌 체 (복소수체 등)라고 하자. $\mathbb {A} ^{n}$ 이 $K$ 에 대한 아핀 공간이라고 하자. $S$ 가 다항식환 $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ 의 부분 집합이라고 할 때, $V(S)\subset \mathbb {A} ^{n}$ 가 $S$ 의 원소들의 근의 교집합이라고 하자. 즉

V(S)=\{x|f(x)=0\forall f\in S\}

이다. 그렇다면 아핀 대수 집합(affine代數集合, affine algebraic set) $X\subset \mathbb {A} ^{n}$ 이란 $X=V(S)$ 인 $S\subset K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ 이 존재하는 부분 집합이다. 아핀 다양체는 두 개의 아핀 대수 집합의 자명하지 않는 합집합(즉, 둘 중 하나가 다른 하나의 부분집합이 아닌 경우)으로 나타낼 수 없는 아핀 대수 집합이다.

아핀 대수집합에는 자리스키 위상이라는 자연스러운 위상이 존재한다. 따라서 모든 아핀 대수집합은 위상 공간을 이룬다.

준아핀 다양체는 아핀 다양체의 (자리스키 위상에 따라) 열린 부분 집합이다.

사영 다양체

$K$ 가 대수적으로 닫힌 체 (복소수체 등)라고 하자. $\mathbb {P} ^{n}$ 이 $K$ 에 대한 사영 공간이라고 하자. $S\subset K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ 이 동차 다항식으로만 이루어져 있다고 하자. 그렇다면 $V(S)$ 가 $S$ 의 원소들의 근의 교집합이라고 하자. 즉

V(S)=\{x|f(x)=0\forall f\in S\}

이다. (다항식이 동차 다항식이 아닌 경우에는 사영 공간에서의 근을 정의할 수 없다.) 사영 대수 집합(射影代數集合, 영어: projective algebraic set) $X\subset \mathbb {A} ^{n}$ 이란 $X=V(S)$ 인 동차 다항식 부분 집합 $S\subset K[x_{1},\dots ,x_{n}]$ 이 존재하는 부분 집합이다. 사영 다양체는 두 개의 사영 대수집합의 자명하지 않는 합집합(즉, 둘 중 하나가 다른 하나의 부분 집합이 아닌 경우)으로 나타낼 수 없는 사영 대수집합이다. 준사영 다양체는 사영 대수다양체의 (자리스키 위상에 따라) 열린 집합이다. 아핀 공간은 사영공간의 열린 부분집합이므로, 모든 아핀 다양체는 준사영 다양체다.

성질

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체들에 대하여, 다음 포함 관계가 성립한다.

아핀 다양체 ⊊ 준아핀 다양체 ⊊ 준사영 다양체 ⊊ 대수다양체 ⊊

K

-스킴

사영 다양체 ⊊ 준사영 다양체 ⊊ 대수다양체 ⊊

K

-스킴

아핀 다양체 ⊊ 아핀 대수 집합 ⊊

K

-스킴

사영 다양체 ⊊ 사영 대수 집합 ⊊

K

-스킴

이는 아핀 공간 $\mathbb {A} ^{n}$ 이 사영 공간 $\mathbb {P} ^{n}$ 의 자리스키 열린 집합이기 때문이다.

일반적으로 아핀 다양체는 사영 다양체일 필요가 없고, 반대로 사영 다양체는 아핀 다양체일 필요가 없다. 아핀/사영 다양체가 아닌 아핀/사영 대수 집합은 대수다양체가 아니다.

역사

아핀 다양체는 고대부터 유클리드 공간의 초곡면으로 오랫동안 연구되었다. 이후 복소수의 등장으로 대수기하학이 대수적으로 닫힌 체에서 훨씬 더 쉽다는 사실이 발견되었고, 또 사영기하학이 발달하면서 사영 공간 속의 (준)사영 다양체의 개념이 대두되었다.

"국소적으로 아핀 다양체와 동형인 공간"이라는, 대수다양체의 추상적인 정의는 앙드레 베유가 1946년에 제안하였다.^[2] 베유는 원래 추상적 대수다양체의 개념을 야코비 다양체를 정의하려고 정의했는데,^[3] 베유는 야코비 다양체가 사실 (준)사영 대수다양체라는 것을 보일 수 없었다. 이후 1954년에 저우웨이량이 사실은 사영 다양체라는 것을 보였다.^[4]

베유 이후, 장피에르 세르가 대수다양체를 환 달린 공간의 개념을 사용하여 재정의하였다.^[5] 이 정의는 복소수에 대한 기존의 복소 대수기하학을 임의의 체 위에서도 할 수 있는 토대를 마련하였다. 이후 알렉산더 그로텐디크의 스킴 이론이 등장하면서, 대수다양체는 적절한 성질을 만족시키는 스킴으로 다시 한 번 재정의되었다.

참고 문헌

↑ ^가 ^나 ^다 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
↑ Weil, André (1946). 《Foundations of Algebraic Geometry》. American Mathematical Society Colloquium Publications 29. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society.
↑ A. Weil, "Courbes algébriques et variétés abéliennes. Variétés abéliennes et courbes algébriques", Hermann (1946,1971) MR0029522 Zbl 0208.49202
↑ W.L. Chow, "The Jacobian variety of an algebraic curve" Amer. J. Math., 76 (1954) pp. 453–476 MR0061421 Zbl 0056.14404
↑ Serre, Jean-Pierre (1955년 3월). “Faisceaux algébriques cohérents” (PDF). 《Annals of Mathematics》 61 (2): 197-278. doi:10.2307/1969915.

바깥 고리

“Algebraic variety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Projective algebraic set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Affine variety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Affine algebraic set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Algebraic variety”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Affine variety”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Algebraic variety”.
“Projective variety”.
“Affine variety”.

[Hartshorne-1] 가 ^나 ^다 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

[2] Weil, André (1946). 《Foundations of Algebraic Geometry》. American Mathematical Society Colloquium Publications 29. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society.

[3] A. Weil, "Courbes algébriques et variétés abéliennes. Variétés abéliennes et courbes algébriques", Hermann (1946,1971) MR0029522 Zbl 0208.49202

[4] W.L. Chow, "The Jacobian variety of an algebraic curve" Amer. J. Math., 76 (1954) pp. 453–476 MR0061421 Zbl 0056.14404

[5] Serre, Jean-Pierre (1955년 3월). “Faisceaux algébriques cohérents” (PDF). 《Annals of Mathematics》 61 (2): 197-278. doi:10.2307/1969915.

[1]

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 ==  정의 ==
-<math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]라고 하자. <math>k</math>에 대한 '''대수다양체'''는 국소적으로 [[아핀 대수다양체]]와 동형인 [[환 달린 공간]]이다. 즉, [[환 달린 공간]] <math>X</math> 위에 [[열린 덮개]] <math>\{U_\alpha\}</math>가 존재하여, <math>U_\alpha</math> 각각이 [[아핀 대수다양체]]를 이루는 경우다.<ref name="Hartshorne">{{책 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자고리=로빈 하츠혼|고리=|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어고리=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|58}}
+<math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]라고 하자. <math>k</math>에 대한 '''대수다양체'''는 국소적으로 아핀 대수다양체와 동형인 [[환 달린 공간]]이다. 즉, [[환 달린 공간]] <math>X</math> 위에 [[열린 덮개]] <math>\{U_\alpha\}</math>가 존재하여, <math>U_\alpha</math> 각각이 아핀 대수다양체를 이루는 경우다.<ref name="Hartshorne">{{책 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic geometry]]|저자고리=로빈 하츠혼|고리=|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어고리=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|58}}
-이 정의를 바탕으로 [[알렉산더 그로텐디크]]는 대수다양체를 일반화한 [[스킴 (수학)|스킴]]의 개념을 정의하였다. [[스킴 (수학)|스킴]] 용어를 사용하면,  [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대하여, <math>K</math>-대수다양체는 다음 조건들을 모두 만족시키는 <math>K</math>-스킴 <math>X\to\operatorname{Spec}K</math>이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105}}
+이 정의는 [[스킴 (수학)|스킴 이론]]을 사용하여 서술할 수 있다. [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>에 대하여, '''<math>K</math>-대수다양체'''는 다음 조건들을 모두 만족시키는 <math>K</math>-스킴 <math>X\to\operatorname{Spec}K</math>이다.<ref name="Hartshorne"/>{{rp|105}}
 * 기약 스킴({{llang|en|irreducible scheme}})이다. 이는 대수다양체를 기약 대수 집합으로 국한시키는 것이며, 위상 공간으로서의 [[연결 공간|연결성]]보다 더 강한 조건이다.
 * 축소 스킴({{llang|en|reduced scheme}})이다. 이는 <math>K[x,y]/(y^2)</math>와 같은 [[멱영원]]의 부재를 의미한다. 이러한 멱영원은 기하학적으로 [[싹 (수학)|싹]]으로 해석할 수 있다.