국소 연결 공간

일반위상수학에서, 국소 연결 공간(局所連結空間, 영어: locally connected space)은 위상 공간으로서, 연결 공간을 국소화시킨 개념이다.

정의

국소 연결 공간 $X$는 임의의 점 $x\in X$의 임의의 근방 $U\ni x$에 대하여, $x\in C\subseteq U$인 연결 근방 $C$가 존재하는 위상 공간이다.^:161

국소 경로 연결 공간(locally path connected space) $X$는 임의의 점 $x\in X$의 임의의 근방 $U\ni x$에 대하여, $x\in C\subseteq U$인 경로 연결 근방 $C$가 존재하는 위상 공간이다.^:161

성질

• 국소 경로 연결 공간은 국소 연결 공간이다.
• 위상 공간 X가 국소 연결 공간일 필요충분조건은 X 상의 임의의 열린 집합 U에 대해 U의 모든 연결 성분이 X에서 열린 집합인 것이다.^:161
• 위상 공간 X가 국소 경로 연결 공간일 필요충분조건은 X 상의 임의의 열린 집합 U에 대해 U의 모든 경로 연결 성분이 X에서 열린 집합인 것이다.^:161
• 국소 경로 연결 공간에서 연결 성분과 경로 연결 성분은 동치인 개념이다.^:161
• 국소 경로 연결 공간의 열린 연결 부분 공간은 경로 연결 공간이다.^:162
• 국소 연결공간 X와 위상공간 Y에 대해 X에서 Y로의 몫사상이 존재한다면, Y도 국소연결공간이다.^:163

예

위상수학자의 사인 곡선은 연결 공간이지만 국소 연결 공간이 아니다. (0, 1)에서 이 점을 중심으로 하는 적당히 작은 ε-구를 잡으면, (0, 1)을 포함하는 연결성분은 열린 집합이 아니기 때문이다.

빗 공간(comb space)은 경로 연결 공간이지만 국소 경로 연결 공간이 아니다.