스칼라곱

내적공간의 내적 연산자를 ‘스칼라곱’으로 부르기도 한다.

수학에서, 스칼라곱(scalar곱, 영어: scalar product) 또는 점곱(영어: dot product)은 두 벡터로 스칼라를 계산하는 이항연산이다. 스칼라곱을 사용하는 모든 유클리드 공간은 내적공간이므로, 스칼라곱을 단순히 ‘내적’이라 부르기도 한다.

정의

두 벡터 $\mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}],\mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n}]$ 의 스칼라곱은 다음과 같다:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}$

예

예를 들어, 두 벡터 [1, 3, −2], [4, −2, −1]의 스칼라곱은

[1, 3, −2]·[4, −2, −1] = 1×4 + 3×(−2) + (−2)×(−1) = 0

이 된다.

성질

또한

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cos \theta$

로도 표현하는데 이는 벡터 $\mathbf {a}$에 벡터 $\mathbf {b}$를 투영한 형태, 즉 벡터 $\mathbf {b}$를 벡터 $\mathbf {a}$와 동일한 방향의 성분으로 변환하여 그 스칼라값을 벡터 $\mathbf {a}$의 스칼라 값에 곱하는 것이라 할 수 있다. 이때 벡터 $\mathbf {a}$와 벡터 $\mathbf {b}$의 사이각인 $\theta$가 90˚ 즉 직교하는 경우는 결과가 "0"이 되며 0˚인 경우 즉 같은 방향인 경우에 최댓값이 된다. 물론 결과값은 벡터가 아닌 스칼라 값이다.

응용

위와 같은 내적의 성질을 응용하는 기하학적 계산을 대수학적인 계산으로 변환 처리할 경우에 이용된다. 특히 프로그래밍에서 스칼라곱은 두 벡터 사이의 각을 구하는 데 빈번히 사용된다.

같이 보기

• 벡터곱