헤세 행렬: 두 판 사이의 차이

내용 삭제됨 내용 추가됨

인라인

2014년 6월 4일 (수) 12:36 판

수학에서 헤세행렬(Hessian matrix)은 어떤 함수의 이계도함수를 행렬로 표현한 것이다. 헤세행렬은 독일의 수학자 루트비히 오토 헤세의 이름을 따서 명명되었다. 헤세행렬은 다변수함수가 극값을 가질 때, 그것이 극대인지, 극소인지 판정할 때 사용한다.

정의

실함수 $f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})$ 이 주어졌을 때, 헤세행렬은 다음과 같이 주어진다.

H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}

헤세행렬은, 함수의 기울기 벡터 $\nabla f$ 에 대한 야코비행렬로도 설명이 가능하다.

함수 $f$ 의 이계도함수가 연속이라면 혼합 편미분은 같다. 그 때 이 행렬은 대칭행렬이다.

테일러급수와 헤세행렬

함수 $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ 의 $n=2$ 인 테일러급수는 헤세행렬을 이용해서 나태낼 수 있다.

\mathbf {h} \in \mathbb {R} ^{n}

에 대해

f\left(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} \right)=f\left(\mathbf {x} _{0}\right)+J\left(\mathbf {x} \right)\mathbf {h} +\mathbf {h} ^{T}H\left(f\right)\left(\mathbf {x} _{0}\right)\left(\mathbf {h} \right)

(여기서

\mathbf {h} ^{T}

는

\mathbf {h}

가 열벡터라고 할때 그 전치행렬인 행벡터를 의미한다.)

만약 $\mathbf {x} _{0}$ 가 임계점이라면 $\mathbf {D} f\left(\mathbf {x} _{0}\right)=0$ 이므로 $\mathbf {h} \in \mathbb {R} ^{n}$ 에 대해 $f\left(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} \right)=f\left(\mathbf {x} _{0}\right)+\mathbf {h} ^{T}H\left(f\right)\left(\mathbf {x} _{0}\right)\left(\mathbf {h} \right)$ 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 헤세행렬이 되는 셈이다.

함께 보기

야코비 행렬
Weisstein, Eric Wolfgang. “Hessian”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

이 글은 수학에 관한 토막글입니다. 여러분의 지식으로 알차게 문서를 완성해 갑시다.

@@ 1번째 줄: / 1번째 줄: @@
 {{미적분학}}
-수학에서 '''헤시안 행렬'''(Hessian matrix), 또는 '''헤세의 행렬'''은 어떤 함수의 [[이계도함수]]를 행렬로 표현한 것이다. 이 행렬은 독일의 수학자 [[루트비히 오토 헤세]]의 이름을 따서 명명되었다. 헤시안 행렬은 다변수함수가 극값을 가질 때, 그것이 극대인지, 극소인지 판정할 때 사용한다.
+수학에서 '''헤세행렬'''(Hessian matrix)은 어떤 함수의 [[이계도함수]]를 행렬로 표현한 것이다. 헤세행렬은 독일의 수학자 [[루트비히 오토 헤세]]의 이름을 따서 명명되었다. 헤세행렬은 다변수함수가 극값을 가질 때, 그것이 극대인지, 극소인지 판정할 때 사용한다.
 == 정의 ==
-실변수 함수 <math>f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n})</math>이 주었을 때, 헤시안 행렬은 다음과 같이 주어진다.
+실함수 <math>f(x_{1}, x_{2}, x_{3}, ..., x_{n})</math>이 주어졌을 때, 헤세행렬은 다음과 같이 주어진다.
 :<math>H(f) = \begin{bmatrix}
 \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1}^2} & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{2}} & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{1} \partial x_{n}} \\
@@ 11번째 줄: / 11번째 줄: @@
 \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n} \partial x_{1}} & \cdots & \cdots & \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{n}^2}
 \end{bmatrix}</math>
-헤시안 행렬은, 함수의 기울기벡터 <math>\nabla f</math>에 대한 [[야코비 행렬]]로도 설명이 가능하다.
+헤세행렬은, 함수의 기울기 벡터 <math>\nabla f</math>에 대한 [[야코비행렬]]로도 설명이 가능하다.
 함수 <math>f</math>의 이계도함수가 [[연속함수|연속]]이라면 혼합 편미분은 같다. 그 때 이 행렬은 [[대칭행렬]]이다.
+== 테일러급수와 헤세행렬 ==
-== 테일러 급수와 헤시안 행렬 ==
-{{참고|테일러 급수}}
+{{참고|테일러급수}}
-함수 <math>f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>의 <math>n=2</math>인 [[테일러 급수]]는 헤시안 행렬을 이용해서 나태낼 수 있다.
+함수 <math>f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>의 <math>n=2</math>인 [[테일러급수]]는 헤세행렬을 이용해서 나태낼 수 있다.
 :<math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) =f\left(\mathbf{x}_0\right) +J\left(\mathbf{x}\right)\mathbf{h}+\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> (여기서 <math>\mathbf{h}^T</math>는 <math>\mathbf{h}</math>가 열벡터라고 할때 그 [[전치행렬]]인 행벡터를 의미한다.)
-만약 <math>\mathbf{x}_0</math>가 [[임계점]]이라면 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0</math>이므로 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) =f\left(\mathbf{x}_0\right) +\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 헤시안 행렬이 되는 셈이다.
+만약 <math>\mathbf{x}_0</math>가 [[임계점]]이라면 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0</math>이므로 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) =f\left(\mathbf{x}_0\right) +\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫 번째 항이 바로 헤세행렬이 되는 셈이다.
 == 함께 보기 ==