가해군

군론에서, 가해군(可解郡, 영어: solvable group)은 아벨 군들만을 사용한 군의 확대로 나타낼 수 있는 군이다.

역사

가해군의 개념은 갈루아 이론에서 최초로 등장하였다. 갈루아 이론에서, 갈루아 군이 가해군인 갈루아 확대는 거듭제곱근으로 풀 수 있기 때문에 이러한 이름이 붙었다. 오늘날 가해군의 개념은 갈루아 이론뿐만 아니라 군론 전반적으로 널리 쓰인다.

정의

어떤 군 $G$가 다음 과 같은 꼴의 정규부분군열

$1=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft G_{k}=G$

을 가지고, 또한 모든 $G_{i+1}/G$가 아벨 군이라면 $G$를 가해군이라고 한다.

예

모든 아벨 군은 (자명하게) 가해군이다. 모든 멱영군은 가해군이다.

가해군이 아닌 가장 작은 군은 (크기가 60인) 교대군 $A_{5}$이다. 다시 말해, 크기가 59 이하인 모든 군은 가해군이다. 가해군이 아닌 군들의 가능한 크기는 다음과 같다. (OEIS의 수열 A056866)

60, 120, 168, 180, 240, 300, 336, 360, 420, 480, …

파이트-톰슨 정리에 따르면, 크기가 홀수인 모든 유한군은 가해군이다.

번사이드 정리에 따르면, 크기가

$p^{a}q^{b}$

의 꼴인 유한군은 가해군이다. 여기서 $p,q$는 소수이고, $a,b$는 음이 아닌 정수다.

성질

• 정규부분군 $N\triangleleft G$를 가지는 군 $G$가 가해군일 조건은 $N$과 몫군 $G/N$ 둘 다 가해군일 조건과 동치이다.
• 가해군의 부분군은 가해군이다.
• 두 가해군의 반직접곱은 가해군이다. (특수한 경우로, 유한 개의 가해군의 직접곱은 가해군이다.)
• 두 가환군의 화환군(wreath product)은 가해군이다.

참고 문헌

• Dummit, David S.; Richard M. Foote (2004). 《Abstract Algebra[[분류:영어 표기를 포함한 문서|가해군]]》 3판. New York: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

바깥 고리

• “가해군(solvable group)”.