모듈러 곡선: 두 판 사이의 차이

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2013년 12월 19일 (목) 08:33 판

수론과 대수기하학에서, 모듈러 곡선(modular曲線, 영어: modular curve)은 상반평면의 모듈러 군의 부분군에 대한 몫공간인 리만 곡면이다. 타원곡선과 모듈러 군의 이론과 밀접한 관계를 갖는다.

정의

모듈러 군 $\operatorname {SL} (2;\mathbb {Z} )\cong \Gamma (1)$ 의 부분군 $G\subset \Gamma (1)$ 가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰 $N$ 에 대하여 $\Gamma (N)\supset G$ 라면, $G$ 를 모듈러 군의 합동 부분군(合同部分群, 영어: congruence subgroup)이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수 $N$ 을 합동 부분군 $G$ 의 준위(영어: level 레벨^[*])라고 한다.

Γ(1)은 저연스럽게 상반평면 $\mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} \colon \operatorname {Im} z>0\}$ 에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군 $G$ 또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간 $G\setminus \mathbb {H}$ 를 (비콤팩트) 모듈러 곡선 $Y(G)$ 라고 한다. 이는 일반적으로 콤팩트하지 않은 리만 곡면이다.

콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 확장 상반평면(영어: extended upper-half plane)

\mathbb {H} ^{*}=\mathbb {H} \cup \mathbb {Q} \cup \{i\infty \}

을 정의하자. 그렇다면 콤팩트 모듈러 곡선 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "http://localhost:6011/ko.wikipedia.org/v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle X(G)=G\setminus\mathbb H^*} 이라고 한다.

대표적인 합동 부분군 &Gamma₀(N), &Gamma₁(N) 및 Γ(N)에 대응하는 콤팩트 모듈러 곡선을 각각 X₀(N), X₁(N), X(N)이라고 적는다.

성질

모듈러 곡선의 기하는 잘 알려져 있다. 예를 들어, $X(\Gamma )$ 는 경우 j-불변량에 의하여 그 리만 곡면은 리만 구면과 동형이다.

X(\Gamma )=\Gamma \backslash \mathbb {H} {\stackrel {j}{\cong }}{\hat {\mathbb {C} }}

일반적으로, $X(G)$ 의 종수(genus)는 다음과 같다.

g=1+\mu _{\Gamma }/12-r_{2}/4-r_{3}/3-r_{\infty }/2

여기서

$\mu =|\Gamma :G|$ 는 부분군의 지표다.
$r_{2}$ 는 $G$ 의 타원점(elliptic point)들 가운데, 계수(order)가 2인 타원점들의 수이다.
$r_{3}$ 는 계수가 3인 타원점들의 수이다.
$r_{\infty }$ 는 $G$ 의 첨점들의 수이다.

예를 들어, $X(\Gamma )$ 의 경우,

계수가 2인 타원점 1개 ( $i\in \mathbb {H}$ )
계수가 3인 타원점 1개 ( $(1+i{\sqrt {3}})/2\in \mathbb {H}$ )
첨점 1개 ( $i\infty$ )

를 가진다. 따라서

g=1+1/12-1/4-1/3-1/2=0

이다.

Γ₀(N)의 경우, 타원점과 첨점들의 수는 다음과 같다.

r_{2}={\begin{cases}0&4|N\\\prod _{p|N}(1+({\tfrac {-1}{p}}))&4\not |N\end{cases}}

r_{3}={\begin{cases}0&9|N\\\prod _{p|N}(1+({\tfrac {-3}{p}}))&4\not |N\end{cases}}

r_{\infty }=\sum _{0<k|N}\phi ((d,N/d))

여기서 $\phi$ 는 오일러 함수이고, $({\tfrac {a}{b}})$ 는 르장드르 기호이다. $a|b$ 는 $a$ 가 $b$ 의 인수라는 뜻이다. $p|b$ 는 $p$ 가 $b$ 의 소인수라는 뜻이다.

참고 문헌

Diamond, Fred; Jerry Shurman (2005). 《A first course in modular forms》. Graduate Texts in Mathematics 228. Springer. doi:10.1007/b138781. ISBN 978-0-387-23229-4. ISSN 0072-5285. Zbl 1062.11022.

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 == 정의 ==
-[[모듈러 군]] <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)\cong\Gamma(1)</math>의 부분군 <math>G\subset\Gamma(1)</math>가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰 <math>N</math>에 대하여 <math>\Gamma(N)\supset G</math>라면, <math>G</math>를 모듈러 군의 '''합동 부분군'''({{llang|en|congruence subgroup}})이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수 <math>N</math>을 합동 부분군 <math>G</math>의 '''준위'''({{llang|en|level|레벨}})라고 한다.
+[[모듈러 군]] <math>\operatorname{SL}(2;\mathbb Z)\cong\Gamma(1)</math>의 부분군 <math>G\subset\Gamma(1)</math>가 주어졌다고 하자. 만약 충분히 큰 <math>N</math>에 대하여 <math>\Gamma(N)\supset G</math>라면, <math>G</math>를 모듈러 군의 '''합동 부분군'''(合同部分群, {{llang|en|congruence subgroup}})이라고 하고, 이러한 가장 작은 정수 <math>N</math>을 합동 부분군 <math>G</math>의 '''준위'''({{llang|en|level|레벨}})라고 한다.
-&Gamma(1)은 저연스럽게 [[상반평면]] <math>\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}</math>에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군 <math>G</math> 또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간 <math>G\setminus\mathbb H</math>를 (비콤팩트) '''모듈러 곡선''' <math>Y(G)</math>라고 한다. 이는 일반적으로 [[콤팩트 공간|콤팩트]]하지 않은 [[리만 곡면]]이다.
+&Gamma;(1)은 저연스럽게 [[상반평면]] <math>\mathbb H=\{z\in\mathbb C\colon\operatorname{Im}z>0\}</math>에 작용한다. 이를 제약하여, 합동 부분군 <math>G</math> 또한 상반평면에 작용하게 된다. 이렇게 정의한 몫공간 <math>G\setminus\mathbb H</math>를 (비콤팩트) '''모듈러 곡선''' <math>Y(G)</math>라고 한다. 이는 일반적으로 [[콤팩트 공간|콤팩트]]하지 않은 [[리만 곡면]]이다.
 콤팩트한 모듈러 곡선을 얻기 위해서는 '''확장 상반평면'''({{llang|en|extended upper-half plane}})