이분 그래프

이분 그래프의 예

수학의 그래프 이론에서 이분 그래프(bipartite graph)란 모든 변이 X에 있는 꼭지점과 Y의 꼭지점을 잇는 형태로 되도록 꼭지점의 집합을 두 개의 부분집합 X, Y로 나눌 수 있는 그래프이다. 다르게 표현하자면, 그래프의 꼭지점을 빨강과 파랑으로 색칠하되, 모든 변이 빨강과 파랑 꼭지점을 포함하도록 색칠할 수 있는 경우 이분 그래프라고 한다. 같은 말로 색칠수 χ(G)가 2이하인 경우이다.

이분 그래프의 특성

홀수 길이의 회로가 이분 그래프가 아니라는 점은 쉽게 증명할 수 있다. 아울러 다음과 같은 더 강력한 정리가 쉽게 증명된다.

그래프가 이분그래프일 필요충분조건은 홀수 길이의 회로가 없다는 것이다.

이분 그래프인지 확인하는 알고리즘

주어진 그래프가 이분 그래프인지 확인하는 것은 어렵지 않다. 꼭지점 하나를 빨강으로 칠한 후 이웃 꼭지점들은 녹색으로 칠하고 그 이웃들은 빨강으로 칠하는 것들을 반복하면서, 같은 색깔의 꼭지점이 서로 연결되어 있는 모순이 발생하는지 아닌지 확인만 하면 된다. 예를 들어 삼각형 모양으로 세 개의 꼭지점이 세 개의 간선으로 연결된 그래프는 이분 그래프가 아니다.