최대공약수

최대공약수(最大公約數)란, 0이 아닌 두 정수나 다항식의 공통되는 약수 중에서 가장 큰 수를 말한다. 두 정수 a와 b의 최대공약수를 기호로 gcd(a, b)로 표기하거나, 더 간단히 (a, b)로도 표기한다.

특징

• gcd(a, b)는 a와 b의 약수이다.
• 두 수 또는 다항식의 곱은 두 수의 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같다.

  gcd(a, b)·lcm(a, b) = a·b

• a와 b의 최대공약수 gcd(a, b)의 값은 ax + by 꼴의 수(x, y는 정수) 중 가장 작은 양수의 값과 같다.
• 만약 두 정수의 최대공약수가 1과 -1밖에 없는 경우, 이 두 수는 서로소라고 부른다.
• 만약 두 다항식의 상수 이외의 최대공약수가 없을 경우, 이 두 다항식은 서로소라고 부른다.

컴퓨터 프로그래밍

나머지를 구하는 %연산을 번갈아가며 구한다.

다음은 재귀 호출을 사용한 간단한 구현이다(C/C++/C#/Java).

int gcd(int p, int q)
{
    if (q == 0) return p;
    int r = p % q;
    return gcd(q, r);
}

다음은 재귀 호출 대신 while 루프로 대체하고 제네릭 프로그래밍을 적용한 C++ 구현이다.

#include <utility>
#include <iostream>

template <class _Ty>
_Ty gcd(_Ty a, _Ty b) {
	if ( a < b ) std::swap(a,b);
	while ( b > 0 ) {
		_Ty c = b;
		b = a % b;
		a = c;
	}
	return a;
}

int main() {
	std::cout << "gcd(2,4) = " << gcd(2,4) << std::endl;
	return 0;
}

같이 보기

• 약수
• 공약수
• 최소공배수

외부 링크

• “최대공약수”. 《네이버캐스트》.