내적 공간

내적의 기하학적 해석

내적공간(內積空間 inner product space)은 수학에서 두 벡터를 곱해 스칼라를 얻는 내적이라는 이항연산이 주어진 벡터공간을 말한다. 벡터공간에 내적이 주어지면 이를 이용해 길이나 각도 등의 개념을 정의할 수 있으며, 이는 유클리드 공간의 스칼라 곱을 일반화한 것으로 볼 수 있다(주의: 책에 따라 내적과 스칼라 곱을 동의어로 여기기도 한다.). 내적공간의 개념은 함수해석학에서 중요하게 다루어진다.

정의

(이 글에서 스칼라들의 체 F는 실수체 R 혹은 복소수체 C이다.)

체 F 상의 벡터공간 V에 정부호 비퇴화 정반선형 형식 <·,·>이 주어지면 이 공간을 내적공간이라 하고, <·,·>를 내적이라 한다. 이는 실벡터공간에 대해서는 정부호 비퇴화 대칭 겹선형형식이 된다. 위의 내적의 정의를 보다 기초적인 용어들로 아래와 같이 풀어쓸 수 있다.

내적이란 함수

$\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbb {F}$

로서, 임의의 V의 원소 x,y,z와 F의 원소 a,b에 대해 다음의 조건들을 만족하는 것이다:

• 켤레 대칭성:

$\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}.$

이 조건에 따라 $\langle x,x\rangle \in \mathbb {R}$가 성립하는데, 이는 $\langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}$이기 때문이다.

• 첫 번째 변수에 대한 선형성:

$\langle ax,y\rangle =a\langle x,y\rangle .$

$\langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle .$

이 조건을 위의 켤레 대칭성 조건과 함께 이용해서 다음을 얻을 수 있다:

$\langle x,by\rangle ={\overline {b}}\langle x,y\rangle .$

$\langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle .$

따라서 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$는 정반선형 형식이 된다.

• 음이 아님:

$\langle x,x\rangle \geq 0.$

(이는 V의 임의의 원소 x에 대해 $\langle x,x\rangle \in \mathbb {R}$이기에 의미를 갖는다.)

• 비퇴화성:

$\langle x,x\rangle =0$이면 $x=0.$

함께 보기

• 외적
• 외대수
• 겹선형형식
• 쌍대공간