최대가능도 방법: 두 판 사이의 차이

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2013년 3월 4일 (월) 18:15 판

최대우도 (maximum likelihood estimation, MLE)는 어떤 확률변수에서 표집한 값들을 토대로 그 확률변수의 모수를 구하는 방법으로, 어떤 모수가 주어졌을 때 원하는 값들이 나올 확률 (우도)을 최대로 만드는 모수를 선택하는 방법이다. 점추정 방식에 속한다.

방법

어떤 모수 로 결정되는 확률변수들의 모임 이 있고, 확률 밀도 함수확률 질량 함수이고, 그 확률변수들에서 각각 값 을 얻었을 경우, 우도 는 다음과 같다.

여기에서 우도를 최대로 만드는

가 된다.

이때 이 모두 독립적이고 같은 확률분포를 가지고 있다면, 은 다음과 같이 표현이 가능하다.

또한, 로그함수단조 증가하므로, 에 로그를 씌운 값의 최대값은 원래 값 과 같고, 이 경우 계산이 비교적 간단해진다.

예제: 가우스 분포

평균 분산 의 값을 모르는 가우스 분포에서 의 값을 표집하였을 때, 이 값들을 이용하여 원래 분포의 평균과 분산을 추측한다. 이 경우 구해야 하는 모수는 이다. 가우스 분포의 확률밀도함수가

이고, 가 모두 독립이므로

양변에 로그를 띄우면

가 된다. 식의 값을 최대로 만드는 모수를 찾기 위해, 양변을 로 각각 편미분하여 0이 되는 값을 찾는다.

따라서 이 식을 0으로 만드는 값은 으로, 즉 표집한 값들의 평균이 된다. 마찬가지 방법으로 양변을 로 편미분하면

따라서 이 식을 0으로 만드는 값은 이 된다.