가산 콤팩트 공간

가산컴팩트 공간(Countably compact space)은 위상공간으로서, 그 공간에 임의의 가산 열린 덮개가 주어질 때마다 각 열린 덮개에 대해 유한 열린 덮개를 가지는 것을 의미한다. 임의의 위상공간의 부분공간으로서 이런 성질을 가지는 집합이 가산컴팩트성(countable compactness)을 갖는다고도 한다.

성질

• 컴팩트 공간이면 가산컴팩트 공간이다. 반대로, 가산컴팩트 공간이고 린델뢰프 공간이면 컴팩트 공간이다.
• 가산컴팩트 공간은 유사컴팩트 공간이다. 반대로, 유사컴팩트 공간이고 T₄ 공간이면 가산컴팩트 공간이다.
• 점렬 컴팩트 공간은 가산컴팩트 공간이다.
• 가산컴팩트 공간이면 극한점 컴팩트 공간이다.
• 제1가산공간이고 가산컴팩트 공간이면 점렬 컴팩트 공간이다.
• $T_{1}$ 공간에서 점렬 컴팩트, 가산컴팩트, 극한점 컴팩트는 모두 동치이다.
• 거리 공간에서는 컴팩트, 가산컴팩트, 극한점 컴팩트, 점렬 컴팩트, 유사컴팩트, 희박 컴팩트의 개념이 모두 동치이다.

참고 문헌

• James R. Munkres (2000), Topology, Prentice Hall.