헤세 행렬: 두 판 사이의 차이

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2013년 1월 20일 (일) 22:18 판

수학에서 헤시안 행렬(Hessian matrix), 또는 헤세의 행렬은 어떤 함수의 이계도함수를 행렬로 표현한 것이다. 이 행렬은 독일의 수학자 루트비히 오토 헤세의 이름을 따서 명명되었다. 헤시안 행렬은 다변수함수가 극값을 가질 때, 그것이 극대인지, 극소인지 판정할 때 사용한다.

정의

실변수 함수 $f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n})$ 이 주었을 때, 함수 $f$ 의 이계도함수가 연속이라면 헤시안 행렬은 다음과 같이 주어진다.

H(f)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\partial x_{n}}}\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\partial x_{1}}}&\cdots &\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}

헤시안 행렬은, 함수의 기울기벡터 $\nabla f$ 에 대한 야코비 행렬로도 설명이 가능하다.

테일러 급수와 헤시안 행렬

함수 $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ 의 $n=2$ 인 테일러 급수는 헤시안 행렬을 이용해서 나태낼 수 있다.

\mathbf {h} \in \mathbb {R} ^{n}

에 대해

f\left(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} \right)=f\left(\mathbf {x} _{0}\right)+J\left(\mathbf {x} \right)\mathbf {h} +\mathbf {h} ^{T}H\left(f\right)\left(\mathbf {x} _{0}\right)\left(\mathbf {h} \right)

(여기서

\mathbf {h} ^{T}

는

\mathbf {h}

가 열벡터라고 할때 그 전치행렬인 행벡터를 의미한다.)

만약 $\mathbf {x} _{0}$ 가 임계점이라면 $\mathbf {D} f\left(\mathbf {x} _{0}\right)=0$ 이므로 $\mathbf {h} \in \mathbb {R} ^{n}$ 에 대해 $f\left(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} \right)=f\left(\mathbf {x} _{0}\right)+\mathbf {h} ^{T}H\left(f\right)\left(\mathbf {x} _{0}\right)\left(\mathbf {h} \right)$ 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫번째 항이 바로 헤시안 행렬이 되는 셈이다.

함께 보기

야코비 행렬
Weisstein, Eric Wolfgang. “Hessian”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

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 {{참고|테일러 급수}}
 함수 <math>f:U\sub\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>의 <math>n=2</math>인 [[테일러 급수]]는 헤시안 행렬을 이용해서 나태낼 수 있다.
-:<math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) =f\left(\mathbf{x}_0\right) +J\left(\mathbf{x}\right)\mathbf{h}+\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math>(여기서 <math>\mathbf{h}^T</math>는 <math>\mathbf{h}</math>가 열벡터이라고 할때 그 [[전치행렬]]인 행벡터를 의미한다.)
+:<math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) =f\left(\mathbf{x}_0\right) +J\left(\mathbf{x}\right)\mathbf{h}+\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> (여기서 <math>\mathbf{h}^T</math>는 <math>\mathbf{h}</math>가 열벡터라고 할때 그 [[전치행렬]]인 행벡터를 의미한다.)
-만약 <math>\mathbf{x}_0</math>가 [[임계점]]이라면 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0</math>이므로 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) =f\left(\mathbf{x}_0\right) +\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math>이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫번째 항이 바로 헤시안 행렬이 되는 셈이다.
+만약 <math>\mathbf{x}_0</math>가 [[임계점]]이라면 <math>\mathbf{D}f\left(\mathbf{x}_0\right) =0</math>이므로 <math>\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n</math>에 대해 <math>f\left(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}\right) =f\left(\mathbf{x}_0\right) +\mathbf{h}^TH\left( f\right)\left(\mathbf{x}_0\right)\left(\mathbf{h}\right)</math> 이다. 즉, 상수가 아닌 가장 첫번째 항이 바로 헤시안 행렬이 되는 셈이다.
 == 함께 보기 ==