프랙탈

프랙털(영어: fractal)은 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 말한다. 이런 특징을 자기 유사성이라고 하며, 다시 말해 자기 유사성을 갖는 기하학적 구조를 프랙털 구조라고 한다. 브누아 망델브로가 처음으로 쓴 단어로, 어원은 조각났다는 뜻의 라틴어 형용사 ‘fractus’이다. 프랙털 구조는 자연물에서 뿐만 아니라 수학적 분석, 생태학적 계산, 위상 공간에 나타나는 운동모형 등 곳곳에서도 발견되어 자연이 가지는 기본적인 구조이다. 불규칙하며 혼란스러워 보이는 현상을 배후에서 지배하는 규칙도 찾아낼 수 있다. 복잡성의 과학은 이제까지의 과학이 이해하지 못했던 불규칙적인 자연의 복잡성을 연구하여 그 안의 숨은 질서를 찾아내는 학문으로, 복잡성의 과학을 대표하는 혼돈 이론에도 프랙털로 표현될 수 있는 질서가 나타난다.

프랙털은 수학적 도형으로도 연구되고 있다. 프랙털 도형은 종종 컴퓨터 소프트웨어를 이용한 재귀적이거나 반복적인 작업에 의한 반복되는 패턴으로 만들어진다. 대표적인 프랙털 도형에는 망델브로 집합, 칸토어 집합, 시에르핀스키 삼각형, 페아노 곡선, 코흐 곡선 등이 있다. 프랙털은 결정론적이거나 추계학적일 수 있으며, 혼돈적 계와 연관지어 발생할 수도 있다.

프랙털 기하학은 프랙털의 성질을 연구하는 수학 분야의 하나이다. 이는 과학, 공학, 컴퓨터 예술에 적용되기도 한다. 자연계에서도 프랙털 구조가 자주 발견되며, 구름, 산, 번개, 난류, 해안선 및 나뭇가지 등이 여기에 해당한다. 프랙털은 실용적인 목적으로 많이 사용되며, 현실 세계의 매우 불규칙한 물체들을 표현하기 위해서 쓰일 수 있다. 프랙털 기법은 과학의 여러 분야에서는 물론, 기술적으로 이미지 압축 등에서도 사용된다.

분류

프랙털을 네 가지 생성 기법에 따라 분류할 수 있다.

시간매개형 프랙털(Escape-time fractals, 궤도 프랙털): 대개 복소평면 상에서, 각각의 점이 발산하는 속도를 색으로 나타낸 이미지. 망델브로 집합
반복함수계(Iterated function system): 기하학적 대체 규칙에 의해 만들어진 도형. 칸토어 집합, 시에르핀스키 삼각형과 시에르핀스키 카펫, 코흐 곡선, 페아노 곡선 등이 이에 해당한다.
기이한 끌개(Strange attractors): 주어진 사상이나 방정식의 해를 이용해 초기값을 반복적으로 변환한 것이며 혼돈 이론과 관계된다.
무작위적 프랙털(Random fractals): 결정론적이지 않고 추측 통계학적으로 만들어진 것.

이들 중 기하학적 프랙털만이 완벽한 자기유사성을 가지고 있다. 반면 망델브로 집합은 느슨하며, "통계적인" 자기 유사성을 가지고 있는데, 확대할 때마다 자기 자신의 모습이 변형된 형태로 나타난다. 또한, 프랙털은 자기 유사성의 강도에 따라 두 가지로 나뉠 수도 있다.

준-자기유사적 프랙털(통계학적 프랙털): 자기 유사성의 강도가 가장 낮은 것이며 자연에서 찾은 프랙털처럼 부분과 전체가 대략적으로 비슷한 것이다.
완전-자기유사적 프랙털(규칙적 프랙털): 자기 유사성의 강도가 가장 높은 것이며, 부분과 전체의 모양이 정확하게 같다. 규칙적 프랙털의 예로서 시에르핀스키 삼각형과 코흐 곡선이 있다.

시간매개형 프랙털

망델브로 집합과 쥘리아 집합은 아래 점화식으로 만들어진다. $z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$ 여기서 z와 c는 복소수이다. 쥘리아 집합은 정해진 c에 대해 위 점화식을 수렴시키는 z의 초기값을, 망델브로 집합은 정해진 z의 초기값에 대해 위 점화식을 수렴시키는 c를 의미한다. 발산 속도에 따라 점의 색을 다르게 한 그림을 그릴 수 있다.

$z_{n+1}=z_{n}^{2}+c(z=x+yi,c=c_{1}+c_{2}i)$ 에 대해 생각해보자.

$M=\left\{c~|z_{n+1}=z_{n}^{2}+c~,lim|z_{n}|<\infty \right\}$

의 초기값을 $z=0+0i$ 로 하여 점화식을 반복하여 계산한다. 그 결과는 $c$ 값에 의존한다. 즉 $c$ 값에 따라 $z$ 가 하나의 값으로 수렴하기도 하고 여러 값 사이를 순환적으로 맴돌기도 하고 아주 큰 값으로 발산하기도 한다. 만델브로트 집합은 초기값을 $z=0+0i$ 로 했을 때 $z_{n+1}=z_{n}^{2}+c$ 을 발산시키지 않는 복소수 들의 모임이다.

 $c$  를 고정했을 때 발산하지 않는  $z$ 를 충만한 줄리아 집합(filled-in julia set)

$J=\left\{z|z_{n+1}=z_{n}^{2}+c~,lim|z_{n}|<\infty \right\}$

이라 한다. 줄리아 집합은 충만한 줄리아 집합의 경계이다.

만델브로트 집합과 줄리아 집합의 관계

① $c\in C$ 가 만델브로트 집합이면, $z_{n}+c$ 가 수렴하는 $z$ 는 충만한 줄리아( $K_{c}$ : filled in Julia set) 집합이다.

② $c\in C$ 가 만델브로트 집합에 속하지 않으면, 비연결 줄리아 집합 $J_{c}$ 이다.

③ 줄리아 집합은 충만한 줄리아 집합의 경계이다.

④ 줄리아 집합이 비연결이면 충만한 줄리아 집합( $K_{c}$ )과 줄리아 집합( $J_{c}$ )은 같아진다.

⑤ 만델브로트집합에서 나타나는 주기는 줄리아 집합에서도 그대로 나타난다.

⑥ 만델브로트 집합은 한 개이지만, 줄리아 집합은 여러 개이다.

⑦ 줄리아 집합은 내부가 공집합이다.

⑧ 복소수 $c\in C$ 에 대하여, 모든 줄리아 집합은 각각 다르다.

자연에서 발견되는 프랙털의 사례

자연에서는 자기 닮음으로 표현될 수 있는 유한한 구조물들이 자주 발견된다.

번개: 번개는 같은 길을 반복해서 계단을 이루듯이 방전한다. 습도,기압,온도 등 여러 조건에 의해 복잡하게 경로가 결정되기 때문에, 일직선이 아니고 구불구불한 형태를 지닌다. 불규칙해 보이지만, 전체적인 모습과 가지 하나하나가 비슷한 구조를 이루고 있다. 즉, 자기닮음의 프랙털 구조를 가지고 있다.
강줄기: 강의 부분과 전체는 닮았다. 나일강의 모습과 한강의 모습이 전체적으로 비슷하고, 어느 지역에서건 강의 모습은 비슷한 형태를 지닌다. 지류와 전체적인 강줄기의 모습은 닮았다. 수많은 비가 내리면서 산에 많은 분기점이 생긴다. 이 하나하나가 작은 강이 되어 큰 줄기로 만났다가 작은 줄기로 뻗어나가는 행위를 반복한다.
나무: 나무는 큰 가지가 나뉘면서 여러 가지가 생기고, 이 작은 가지에 또 여러 작은 가지들이 갈라 진다. 나무는 저마다의 프랙털 차원을 가지고 있다. 이런 나무의 프랙털 형태는 물과 영양분의 운반을 전체에 고르게 보내는 역할을 한다.
뇌의 표면: 뇌의 표면에는 여러 주름져 있다. 커다란 주름에 다시 작은 주름들이 계속되어 나간다. 지적 능력의 향상을 위해 여러 주름으로 최대한 공간을 만들어서 뇌세포를 배치시킨다. 이런 뇌의 주름의 패턴은 여러 주름이 자기닮음의 형식으로 뻗어나간다는 점에서 프랙털의 형식을 띄고 있다.

응용 분야

프랙털이나 혼돈 이론을 적용한 기술들은 인공 지능, 시뮬레이션, 우주 분야 등 다양한 분야에 응용되고 있을 뿐만 아니라 실험적 예술등에도 적용되고 있다.

프랙털 시각예술

프랙털의 형태적 특징을 기하학적 조형성으로 이용하여 만든 디자인이다. 프랙털의 성질은 형태적으로 "반복", "자기유사성", "회전"이며, 질서, 통일, 반복, 조화같은 기본적인 디자인 원칙하에 프랙털의 형태적 특성이 나타난다.

프랙털 디자인에서의 자기유사성은, 기본적 형태요소의 크기를 늘리거나 줄이면서 배열되는 데에서 드러난다. 이런 기본형태요소는 끝없이 반복되며, 이 가운데서 통일성과 질서 조화를 보는 이로 하여금 느끼게 해준다.

프랙털 디자인은 포토샵이나 일러스트 같은 컴퓨터 그래픽 툴로 만들 수 있다. 그래픽 툴로 프랙털 디자인을 만드는 방법은 기본형태를 복사해서 크기를 점점 줄이거나, 점점 늘리면서 반복해서 확장시키는 것이다.

프랙털 디자인이 적용된 대표적인 예로 존 메아다가 디자인한 Morisawa poster가 있다.

프랙털 음악

Richard F.Voss와 John Clarke가 물질적인 소리 신호에 대한 수학을 연구하였다. 그들은 연구에서 파워 스펙트럼(노이즈) 중에서 주파수 변화량 f에 따라 1/f 특성을 가진 pink noise가 규칙적이면서도 불규칙적인 자연현상과 유사한 형태를 가짐을 발견하였다. 그래서 1/f 패턴을 갖는 음악을 프랙털 음악이라 한다.

Voss와 Clarke는 pink noise(프랙털 음악)이 적절한 보통의 음악이 될 수 있다고 보았다. 프랙털 음악도 자연에서의 프랙털처럼 전체 구조와 유사한 작은 구조가, 전체 안에서 반복되는 특징을 갖고 있다. 프랙털적인 공간 채움과 조화로운 음 연결도 프랙털 음악의 특성이다.

프랙털 음악에는 바흐가 작곡한 클래식부터, 컴퓨터로 작곡한 현대 음악 등이 있다.

참조

프랙탈과 카오스, 안대영 ; 교우사 ; ISBN 978-89-8172-947-9(2015.3.5)
¹ Fractal Geometry, by Kenneth Falconer; John Wiley & Son Ltd; ISBN 0-471-92287-0 (March 1990)
The Fractal Geometry of Nature, by Benoit Mandelbrot; W H Freeman & Co; ISBN 0-7167-1186-9 (hardcover, September 1982).
The Science of Fractal Images, by Heinz-Otto Peitgen, Dietmar Saupe (Editor); Springer Verlag; ISBN 0-387-96608-0 (hardcover, August 1988)
Fractals Everywhere, by Michael F. Barnsley; Morgan Kaufmann; ISBN 0-12-079061-0

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