횡단성

미분기하학에서, 횡단성(橫斷性, 영어: transversality)은 두 부분 다양체 또는 (보다 일반적으로) 같은 공역을 갖는 두 함수 사이에 정의되는 대칭 관계이다. 횡단성은 작은 호모토피에 대하여 불변이며(안정성), 거의 모든 함수에 대하여 성립한다(일반성). 서로 횡단적인 두 부분 다양체의 교집합은 부분 다양체를 이룬다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $X$, $Y$, $M$
• 매끄러운 함수 $f\colon X\to M$, $g\colon Y\to M$

만약 다음 조건이 성립한다면, $f$와 $g$가 서로 횡단적이라고 하며, $f\pitchfork g$로 표기한다.

• 임의의 $x\in X$ 및 $y\in Y$에 대하여, 만약 $f(x)=g(y)=m\in M$라면, $\mathrm {D} _{x}f(\mathrm {T} _{x}X)+\mathrm {D} _{y}g(\mathrm {T} _{y}Y)=\mathrm {T} _{m}M$이다.

${\begin{matrix}X&{\overset {f}{\to }}&M&{\overset {g}{\leftarrow }}&Y\\x&\mapsto &m&{\leftarrow }\!\;\!{\mapsto \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}{\color {White}\!\;\blacksquare \!\!\blacksquare \!\!\!\!\!\!\!\!\!}&y\\\mathrm {T} _{x}X&{\underset {\mathrm {D} _{x}f}{\to }}&\mathrm {T} _{m}M&{\underset {\mathrm {D} _{y}g}{\leftarrow }}&\mathrm {T} _{y}Y\end{matrix}}$

부분 다양체 $X\subseteq M$는 포함 사상 $i\colon X\hookrightarrow M$으로 여길 수 있다. 두 부분 다양체(또는 부분 다양체와 매끄러운 함수)가 서로 횡단적이라는 것은 이 포함 사상에 대한 것이다.

성질

매끄러운 다양체 $M$의 부분 다양체 $X\hookrightarrow M$ 및 매끄러운 함수 $g\colon Y\to M$가 주어졌다고 하자. 만약 $X\pitchfork g$라면,

$g^{-1}(X)=\{y\in Y\colon g(y)\in X\}$

는 $Y$의 부분 다양체이며, 그 여차원은 $X$의 여차원과 같다.

$\operatorname {codim} _{Y}g^{-1}X\dim Y-\dim g^{-1}(X)=\operatorname {codim} _{M}X=\dim M-\dim X$

특히, 만약 $g$ 역시 매장이라고 하자. 즉, 두 부분 다양체 $X,Y\subseteq M$가 주어졌다고 하고, $X\pitchfork Y$라고 하자. 그렇다면, $X\cap Y\subseteq M$ 역시 부분 다양체이며,

$\operatorname {codim} _{M}(X\cap Y)=\operatorname {codim} _{M}X+\operatorname {codim} _{M}Y$

이다. 즉, $\dim(X\cap Y)=\dim X+\dim Y-\dim M$ 이다.

안정성

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 함수 $f\colon X\to M$
• 매끄러운 호모토피 $g\colon [0,1]\times Y\to M$, $(t,y)\mapsto g_{t}(y)$

그렇다면, 만약 $f\pitchfork g_{0}$이라면,

$\inf\{t\in [0,1]\colon f\pitchfork g_{t}\}>0$

이다. 즉, 어떤 $\epsilon >0$에 대하여, 모든 $t\in [0,\epsilon )$에 대하여 $f\pitchfork g_{t}$이게 된다.

일반성

다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $X,Y,M$
• 경계다양체 $S$
• 매끄러운 함수 $f\colon X\to M$
• 매끄러운 함수 $g\colon S\times Y\to M$, $(s,y)\mapsto g_{s}(y)$

또한,

• $f\pitchfork g$
• $f\pitchfork (g\upharpoonright \partial S\times Y)$

라고 하자. 톰 횡단 정리(영어: Thom transversality theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

• 거의 모든 $s\in S$에 대하여, $f\pitchfork g_{s}$이다.
• 거의 모든 $s\in \partial S$에 대하여, $f\pitchfork g_{s}$이다.

여기서 “거의 모든”은 $S$ 또는 $\partial S$의 르베그 측도에 대한 것이다. 즉, 이 조건이 실패하는 $s$의 집합은 영집합이다.

역사

톰 횡단 정리는 르네 톰이 증명하였다.

외부 링크

• “Transversality”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Transversal mapping”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Transversal maps”. 《nLab》 (영어). 
• “An introduction to transversality” (PDF) (영어).