토메 함수

수학에서 토메 함수(영어: Thomae’s function)는 디리클레 함수와 유사하게 정의된 함수의 하나이다.

정의

토메 함수 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$는 다음과 같다.

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{q}}&x={\frac {p}{q}},\;p,q\in \mathbb {Z} ,\;\gcd\{p,q\}=1,\;q>0\\0&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}$

성질

연속성

토메 함수 $f$는 모든 유리수점에서 불연속이며, 모든 무리수점에서 연속이다. 이는 임의의 $x\in \mathbb {R}$에 대하여,

$\lim _{y\to x}f(y)=0$

이기 때문이다.

증명:

임의의 $x\in \mathbb {R}$ 및 $\epsilon >0$에 대하여, $\textstyle {\frac {1}{n}}<\epsilon$인 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$를 취하자. 분모가 $\{1,\dots ,n\}$에 속하는 분수로 나타낼 수 있는 유리수들의 집합을

$A=\mathbb {Z} \cup {\frac {1}{2}}\mathbb {Z} \cup \cdots \cup {\frac {1}{n}}\mathbb {Z}$

라고 하자. 그렇다면, $A$ 속 임의의 서로 다른 두 점 사이의 거리는 $\textstyle {\frac {1}{n^{2}}}$ 이상이므로, $A$는 극한점을 갖지 않는다. 특히, $x$는 $A$의 극한점이 아니므로,

$((x-\delta ,x)\cup (x,x+\delta ))\cap A=\varnothing$

인 $\delta >0$를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의 $y\in (x-\delta ,x)\cup (x,x+\delta )$에 대하여, $y$는 무리수이거나, $y$는 분모가 양의 정수인 기약 분수로 나타냈을 때 분모가 $n$보다 큰 유리수이므로,

$|f(y)|=f(y)<{\frac {1}{n}}<\epsilon$

이다.

만약 $x\in \mathbb {Q}$라면

$\lim _{y\to x}f(y)=0\neq f(x)$

이므로 $x$에서 불연속이다. 만약 $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$라면

$\lim _{y\to x}f(y)=0=f(x)$

이므로 $x$에서 연속이다.

극댓값

토메 함수 $f$는 모든 유리수점에서 엄격 극댓값을 갖는다.

증명:

임의의 $x\in \mathbb {Q}$에 대하여,

$\lim _{y\to x}f(y)=0$

$f(x)>0$

이므로,

$f(y)<f(x)\qquad \forall y\in (x-\delta ,x)\cup (x,x+\delta )$

인 $\delta >0$가 존재한다.

미분

토메 함수 $f$는 모든 점에서 미분 불가능이다.

증명:

$f$는 모든 유리수점에서 불연속이므로 모든 유리수점에서 미분 불가능이다.

이제, 임의의 $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$에 대하여, $x$의 소수점 표기를

$x=x_{0}.x_{1}x_{2}\cdots$

라고 하고, 다음과 같은 유리수 수열 $(y_{n})_{n=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {Q}$을 취하자.

$y_{n}=x_{0}.x_{1}x_{2}\cdots x_{n}$

그렇다면, $(y_{n})_{n=0}^{\infty }$은 $x$로 수렴하며, 임의의 $n\geq 0$에 대하여,

$\left|{\frac {f(y_{n})-f(x)}{y_{n}-x}}\right|={\frac {f(y_{n})}{0.0\cdots 0x_{n+1}x_{n+2}\cdots }}\geq {\frac {1/10^{n}}{1/10^{n}}}=1$

이다. 따라서

$\limsup _{y\to x}\left|{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\right|\geq \limsup _{n\to \infty }\left|{\frac {f(y_{n})-f(x)}{y_{n}-x}}\right|\geq \liminf _{n\to \infty }\left|{\frac {f(y_{n})-f(x)}{y_{n}-x}}\right|\geq 1$

이다. 반면, $x$로 수렴하는 임의의 무리수 수열 $(z_{n})_{n=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$을 취했을 경우, 임의의 $n\geq 0$에 대하여,

$\left|{\frac {f(z_{n})-f(x)}{z_{n}-x}}\right|=0$

이므로,

$\liminf _{y\to x}\left|{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\right|\leq \lim _{n\to \infty }\left|{\frac {f(z_{n})-f(x)}{z_{n}-x}}\right|=0$

이다. 따라서, 극한

$\lim _{y\to \infty }{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}$

은 존재하지 않는다.

적분

토메 함수 $f$는 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 가능하다. 또한,

$\int _{\mathbb {R} }f(x)dx=0$

이다.

증명:

$f$의 불연속점의 집합 $\mathbb {Q}$는 가산 집합이므로 그 르베그 측도는 0이며, 따라서 $f$는 임의의 닫힌구간 위에서 리만 적분 가능하다. 닫힌구간의 임의의 분할에 대하여, 분할된 각 구간에서 무리수점을 취할 경우 리만 합은 0이 된다. 따라서 $f$의 닫힌구간에서의 적분은 0이며,

$\int _{\mathbb {R} }f(x)dx=\lim _{a\to -\infty }\int _{a}^{0}f(x)dx+\lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}f(x)dx=0$

이다.

역사

카를 요하네스 토메(독일어: Carl Johannes Thomae)의 이름을 땄다.

참고 문헌

• Robert G. Bartle & Donald R. Sherbert (1999), Introduction to Real Analysis, 3rd Edition (Example 5.1.6 (h)). Wiley. ISBN 978-0-471-32148-4
• Michael Spivak, Calculus on manifolds. 1965. Perseus Books. ISBN 0-8053-9021-9
• Abbot, Stephen. Understanding Analysis. Berlin: Springer, 2001. ISBN 0-387-95060-5

외부 링크

• “Dirichlet-function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dirichlet Function”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.