테오도로스 와선

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
(테오도로스의 나선에서 넘어옴)
이동: 둘러보기, 검색
테오도로스 와선

테오도로스 와선 (영어: spiral of Theodorus) 은 인접하여 놓인 직각삼각형들로 만들어진 와선이다.

구조[편집]

테오도로스 와선은 직각이등변삼각형에서 시작된다. 오른쪽 그림과 같이 이등변삼각형의 빗변이 아닌 한 변의 길이를 단위 길이로 하여 한 변의 길이는 단위 길이로 동일하고 이전에 그려진 삼각형의 빗변을 다른 한 변으로 삼아 새로운 직각삼각형을 그리면, 빗변의 길이는 , , 과 같이 늘어나게 된다.

역사와 이용[편집]

테오도로스의 저서는 모두 분실되었으나 플라톤이 《테아이테토스》에서 테오도로스가 테오도로스의 와선을 이용하여 3에서 부터 17까지의 정수 가운데 정사각수가 아닌 모든 수가 무리수임을 증명하였다고 언급하였다.[1]

플라톤은 테오도로스가 이 무리수임을 증명하였다고 여기지는 않았는데, 그의 시대에 가 무리수라는 것은 이미 널리 알려져 있었기 때문이다. 플라톤은 《테아이테토스》에서 테오도로스와 같이 유리수와 무리수를 다른 범주로 취급하였다.[2]

빗변[편집]

테오도로스의 와선에서 직각삼각형의 빗변들은 자연수의 제곱근이 된다. 처음 시작한 이등변 직각삼각형의 빗변을 h1 이라고 하면, h1 = 이 되고, n번째 빗변의 길이 hn 가 된다.

플라톤은 테오도로스의 와선에 대해 배우면서 테오도로스가 왜 에서 멈추었는지 의문을 품었다. 그 이유에 대한 일반적인 설명은 이 도형의 선들이 겹치지 않고 와선을 그릴 수 있는 최댓값이기 때문이란 것이다.[3]

1958년 에릭 퇴펠은 삼각형을 계속 추가하여 보다 긴 빗변들을 그리더라도 빗변이 서로 곂치는 일은 일어나지 않으며 선이 꼭지점과 겹치지도 않는다는 것을 증명하였다.[4]

확장[편집]

110 개의 직각삼각형으로 이루어진 테오도로스 와선

테오도로스는 17개의 직각삼각형으로 이루어진 와선을 그렸으나 테오도로스 와선은 계속하여 직각삼각형을 추가하여 무한히 그릴 수 있다.

증가율[편집]

각도[편집]

φnn번째 삼각형의 와선의 중심에 놓인 꼭지점의 각도라고 하면:

따라서 φn-1 에 대한 φn 의 증가율은

첫번째 직각삼각형에서 k 번째 직각삼각형까지의 와선의 중심에 놓인 꼭지점의 각도의 합은 유계 함수 c2로 보정할 때 k 의 제곱근에 비례한다.

이때 유계 함수의 값은

반지름[편집]

와선의 부분을 이루는 n 번째 직각삼각형

빗변을 와선의 반지름으로 보아 n 번째 삼각형에서 반지름의 증가율을 구하면

함께보기[편집]

참고 문헌[편집]

  • Davis, P. J. (1993), 《Spirals from Theodorus to Chaos》 
  • Gronau, Detlef (March 2004), “The Spiral of Theodorus”, 《The American Mathematical Monthly》 (Mathematical Association of America) 111 (3): 230–237, JSTOR 4145130, doi:10.2307/4145130 
  • Heuvers, J.; Moak, D. S.; Boursaw, B (2000), 〈The functional equation of the square root spiral〉, T. M. Rassias, 《Functional Equations and Inequalities》, 111–117쪽 
  • Waldvogel, Jörg (2009), 《Analytic Continuation of the Theodorus Spiral》 (PDF) 

각주[편집]

  1. Nahin, Paul J. (1998), An Imaginary Tale: The Story of [the Square Root of Minus One, Princeton University Press, p. 33, ISBN 0-691-02795-1
  2. Plato; Dyde, Samuel Walters (1899), The Theaetetus of Plato, J. Maclehose, pp. 86–87.
  3. Long, Kate. "A Lesson on The Root Spiral". Retrieved 2008-04-30.
  4. Erich Teuffel, Eine Eigenschaft der Quadratwurzelschnecke, Math.-Phys. Semesterber. 6 (1958), pp. 148-152.