터커 원

기하학에서, 터커 원(영어: Tucker circle)은 삼각형의 세 변의 평행선과 반평행선을 번갈아 가며 이어 만든 내접 비단순 육각형의 6개의 꼭짓점이 공통으로 지나는 원이다.

정의

삼각형 $ABC$의 내접 비단순 육각형 $PQRSTU$의 3개의 변 $PQ$, $RS$, $TU$가 각각 삼각형의 변 $BC$, $CA$, $AB$의 반평행선이며 남은 3개의 변 $QR$, $ST$, $UP$가 각각 삼각형의 변 $AB$, $BC$, $CA$의 평행선이거나, 또는 전자는 평행선이며 후자는 반평행선이라고 하자. 그렇다면 육각형 $PQRSTU$는 외접원을 갖는다. 이 원을 삼각형 $ABC$의 터커 원(영어: Tucker circle)이라고 한다. 육각형의 임의의 5개의 변에 대한 조건은 남은 한 변에 대한 조건을 함의한다. 따라서 직선 $AB$ 위의 임의의 점 $P$에서 출발하여 위 조건을 만족시키는 내접 비단순 육각형을 구성할 수 있다.

성질

주어진 삼각형 $ABC$의 모든 터커 원의 중심은 대칭 중점 $K$와 외심 $O$를 지나는 직선 $KO$ 위의 점이다.^{:92, §9.4}

예

주어진 삼각형에 대하여, 다음과 같은 원들은 터커 원의 특수한 경우이다.

외접원

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외접원은 $P=Q=A$, $R=S=B$, $T=U=C$인 경우의 터커 원으로 여길 수 있다.

제1 르무안 원

 이 부분의 본문은 제1 르무안 원입니다.

삼각형 $ABC$의 대칭 중점 $K$를 지나는 각 변 $BC$, $CA$, $AB$의 평행선 $ST$, $UP$, $QR$와 남은 두 변의 교점을 각각 $S$와 $T$, $U$와 $P$, $Q$와 $R$라고 하자. 그렇다면 $PQ$, $RS$, $TU$는 삼각형 $ABC$의 변의 반평행선이다. 이에 대한 터커 원을 제1 르무안 원이라고 한다.

제2 르무안 원

 이 부분의 본문은 제2 르무안 원입니다.

삼각형 $ABC$의 대칭 중점 $K$를 지나는 각 변 $BC$, $CA$, $AB$의 반평행선 $ST$, $UP$, $QR$와 남은 두 변의 교점을 각각 $S$와 $T$, $U$와 $P$, $Q$와 $R$라고 하자. 그렇다면 $PQ$, $RS$, $TU$는 삼각형 $ABC$의 변의 평행선이다. 이에 대한 터커 원을 제2 르무안 원이라고 한다.

테일러 원

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삼각형 $ABC$의 각 꼭짓점 $A$, $B$, $C$를 지나는 대변의 수선의 발을 $H_{A}$, $H_{B}$, $H_{C}$라고 하고, 발 $H_{A}$, $H_{B}$, $H_{C}$을 지나는 변 $AB$와 $AC$, $BC$와 $AB$, $AC$와 $BC$의 수선의 발을 각각 $P$와 $Q$, $R$와 $S$, $T$와 $U$라고 하자. 그렇다면 $PQ$, $RS$, $TU$는 삼각형 $ABC$의 변의 반평행선이며, $QR$, $ST$, $UP$는 삼각형 $ABC$의 변의 평행선이다. 이에 대한 터커 원을 테일러 원이라고 한다.

역사

영국의 수학자 로버트 터커(영어: Robert Tucker)의 이름을 땄다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Tucker circles”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• van Lamoen, Floor. “Tucker hexagon”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.