타원형 미분 연산자

해석학에서 타원형 미분 연산자(楕圓型微分演算子, 영어: elliptic differential operator)는 라플라스형 연산자와 유사한 일종의 양의 정부호성 조건을 만족시키는 짝수차 미분 연산자이다.

정의

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 리만 다양체 $(M,g)$
• 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$
• $E$의 올 위의 매끄러운 양의 정부호 내적 $\langle ,\rangle$

만약 유한 차수 $k<\infty$의 미분 작용소

$D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)$

가 다음 조건을 만족시킨다면, $D$를 타원형 미분 연산자라고 한다.

$\inf _{(x,\xi )\in \mathrm {T} _{x}^{*}X\setminus X,\;v\in E_{x}}{\frac {\langle \sigma _{D}(\overbrace {\xi ,\xi ,\ldots ,\xi } ^{k},v),v\rangle }{\langle v,v\rangle (g^{-1}(\xi ,\xi ))^{k/2}}}>0$

여기서 $\sigma _{D}$는 미분 연산자 $D$의 주표상이다.

모든 타원형 미분 연산자는 짝수 차수이다. (홀수 차수일 경우 $\sigma _{D}(-\xi ,\ldots ,-\xi ,v)=-\sigma _{D}(\xi ,\ldots ,\xi ,v)$가 된다.)

타원형 미분 연산자 $D$로 정의되는 선형 편미분 방정식, 즉

$Df=g\qquad (f,g\in \Gamma ^{\infty }(E))$

의 꼴의 선형 편미분 방정식을 타원형 편미분 방정식(楕圓型偏微分方程式, 영어: elliptic partial differential equation)이라고 한다.

약타원형 연산자

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $(M,g)$
• 매끄러운 벡터 다발 $E\twoheadrightarrow M$

만약 모든 $x\in X$ 및 $\xi \in \mathrm {T} _{x}^{*}X\setminus \{0\}$에 대하여 $\sigma _{P}(x,\xi )\colon E_{x}\to F_{x}$가 실수 벡터 공간의 동형 사상이라면, $P$를 약타원형 미분 연산자(弱楕圓型微分演算子, 영어: weakly elliptic operator)라고 한다. 유한 개의 약타원형 미분 연산자의 합성은 약타원형 미분 연산자이다.

모든 타원형 미분 연산자는 약타원형 미분 연산자이다.

성질

차수

2차원 이상 매끄러운 다양체 위의 타원형 미분 연산자는 항상 짝수 차수이다.

증명:

$n\geq 2$일 때, $n$차원 다양체의 임의의 점에서, $k$차 미분 연산자 $D$의 주표상이 $k$차 동차 다항식

$\sigma (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})$

이라고 하자. 그렇다면,

$\sigma (x,1,0,0,\dotsc ,0)=p(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{i}$

를 생각하자. 만약 $a_{k}=0$이라면,

$\sigma (1,0,0,0,\dotsc ,0)=0$

이므로 $D$는 타원형 미분 연산자가 아니다. 만약 $a_{k}\neq 0$이라면,

$p(x)=a_{k}x^{k}+\dotsb$

는 $k$차 다항식이다. $k$가 홀수라면, 이 다항식은 항상 근

$p(\alpha )=0$

을 가진다. 그렇다면

$\sigma (\alpha ,1,0,0,\dotsc ,0)=p(\alpha )=0$

이므로 $D$는 타원형 미분 연산자가 아니다.

반면, 1차원 매끄러운 다양체 (= 매끄러운 곡선) 위에서는 임의의 홀수 차수의 타원형 미분 연산자가 존재한다. 그러나 이 경우는 상미분 방정식에 해당하므로, 자명한 경우로 취급한다.

정칙성

리만 다양체 $M$위의 매끄러운 벡터 다발 $E$ 위의 자기 수반 타원형 미분 연산자

$D\colon \Gamma ^{\infty }(E)\to \Gamma ^{\infty }(E)$

에 대하여, 다음 두 조건이 성립한다.

• $\dim \ker D<\infty$. 다시 말해, 타원형 연산자로 정의된 동차 편미분 방정식 $Df=0$은 유한 개의 일차 독립 해를 갖는다.
• $\Gamma ^{\infty }(E)=\ker D\oplus \operatorname {im} D$

이를 타원형 정칙성 정리(영어: elliptic regularity theorem)라고 한다.

준타원성

(매끄러운 함수 계수의) 모든 타원형 미분 연산자는 준타원형 미분 연산자이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

예

리만 다양체 위의 라플라스 연산자는 2차 타원형 미분 연산자이며, 그 상수는 1이다. 마찬가지로, 보다 일반적으로 리만 다양체 위의 라플라스형 연산자는 상수 1의 타원형 미분 연산자이다.

리만 다양체 $(M,g)$ 위의 내적을 갖춘 매끄러운 벡터 다발 $E$ 위의 0차 미분 연산자 $D$가 타원형 미분 연산자가 될 필요 충분 조건은 모든 올에서 이차 형식 $\langle -,D_{x}-\rangle$가 양의 정부호 이차 형식이며, 또한 양의 정부호성이 다음과 같이 균등한 것이다.

$\inf _{x\in X}\inf _{v\in E_{x}\setminus \{0\}}{\frac {\langle v,D_{x}v\rangle }{\langle v,\rangle v}}\geq 0$

즉, $D_{x}$의 고윳값 가운데 최솟값을 $\lambda _{\min }(x)$라고 하면,

$\inf _{x\in X}\lambda _{\min }(x)>0$

이어야 한다. 이는 연속 함수이므로, 만약 $M$이 콤팩트 공간이라면 이는 올별 양의 정부호성에 의하여 자동적으로 함의된다.

1차원 다양체 위의 타원형 미분 연산자

$C$가 1차원 매끄러운 다양체(즉, 매끄러운 곡선)이라고 하고, 그 좌표를 $t$라고 하자. 그 위의 (자명한 1차원 벡터 다발의) $k$차 미분 연산자는

$\sum _{i=0}^{k}a_{i}(x){\frac {\mathrm {d} ^{i}}{\mathrm {d} t^{i}}}$

의 꼴이다. 이 미분 연산자가 $k$차 타원형 미분 연산자일 필요 충분 조건은 임의의 $t\in C$에 대하여 $a_{k}(t)\neq 0$인 것이다.

참고 문헌

• Atiyah, Michael F. (1969). 〈Global theory of elliptic operators〉 (PDF). 《Proceedings of the International Conference on Functional Analysis and Related Topics, Tokyo, April, 1969》 (영어). 도쿄: 일본 수학회. 21–30쪽. 

외부 링크

• “Elliptic operator”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Elliptic partial differential equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Elliptic partial differential equation, numerical methods”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Linear elliptic partial differential equation and system”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Degenerate elliptic equation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Elliptic partial differential equation”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Elliptic differential operator”. 《nLab》 (영어). 
• “Zeta function of an elliptic differential operator”. 《nLab》 (영어).