크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개

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수학에서, 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개(Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz덮개, 영어: Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz cover)는 특정한 조건을 만족시키는, 단체닫힌집합으로 구성된 덮개이다. 구체적으로, 단체의 (꼭짓점의 부분 집합의 볼록 폐포인) 부분 단체는 각 꼭짓점에 대응되는 닫힌집합들로 덮혀져야 한다. 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리(Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz定理, 영어: Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz theorem)에 따르면, 모든 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개는 적어도 하나 이상의 점을 공유한다 (즉, 그 교집합공집합이 될 수 없다).

정의[편집]

개의 꼭짓점을 갖는 차원 단체 을 생각하고, 그 꼭짓점들의 집합을

이라고 하자.

만약 속의, 개 집합으로 구성된 집합족

이 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 닫힌집합이다.
  • 임의의 꼭짓점의 집합 에 대하여, 볼록 폐포에 해당하는 차원 단체 덮개를 이룬다. 즉, 이다.

성질[편집]

둘째 조건에서, 인 경우에 의하여, 덮개를 이루어야 한다. 마찬가지로, 인 경우에 의하여, 임의의 에 대하여 항상 이다.

크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리에 따르면, 일 때, 모든 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개의 교집합은 절대로 공집합이 될 수 없다 (즉, ).

보다 일반적으로, 위의, 개의 서로 다른 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개가 주어졌다고 하자. 즉, 집합족

에서, 각 에 대하여

가 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개를 이룬다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 순열 이 존재한다.[1]

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일 때, 2차원 단체 (즉, 삼각형) 의 다음과 같은 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개를 생각하자.

KKM example.png

즉,

  • 붉은 집합 · 푸른 집합 · 녹색 집합의 합집합은 삼각형의 닫힌 덮개를 이룬다.
  • 붉은 집합 · 녹색 집합은 수직 변의 닫힌 덮개를 이룬다.
  • 붉은 집합 · 푸른 집합은 수평 변의 닫힌 덮개를 이룬다.
  • 녹색 집합 · 푸른 집합은 대각 변의 닫힌 덮개를 이룬다.
  • 붉은 집합 · 푸른 집합 · 녹색 집합은 각각 한 꼭짓점을 포함한다.

이 경우, 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리에 따라 붉은 집합 · 푸른 집합 · 녹색 집합은 한 점을 공유하며, 이는 삼각형 가운데의, 세 집합이 맞닿는 점이다.

역사[편집]

브로니스와프 크나스테르(폴란드어: Bronisław Knaster) · 카지미에시 쿠라토프스키 · 스테판 마주르키에비치가 1929년에 이 조건 및 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리를 증명하였다.[2]

복수의 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 덮개에 대한 크나스테르-쿠라토프스키-마주르키에비치 정리의 일반화는 데이비드 게일(영어: David Gale, 1921~2008)이 1984년에 증명하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Gale, David (1984). “Equilibrium in a discrete exchange economy with money”. 《International Journal of Game Theory》 (영어) 13: 61. doi:10.1007/BF01769865. 
  2. Knaster, Bronisław; Kuratowski, Casimir; Mazurkiewicz, Stefan (1929). “Ein Beweis des Fixpunktsatzes für n-dimensionale Simplexe”. 《Fundamenta Mathematicae》 (독일어) 14 (1): 132–137. 

외부 링크[편집]