콜모고로프-아르놀트-모저 정리

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해밀턴 역학에서, 콜모고로프-아르놀트-모저 정리(Колмогоров-Арнольд-Moser定理, 영어: Kolmogorov–Arnold–Moser theorem, 약자 KAM)는 적분가능계에 충분히 작은 섭동항을 추가하였을 때, 거의 모든 준주기적 해들이 살아남는다는 정리이다.

정의[편집]

차원 심플렉틱 다양체 위의 적분가능계의 작용-각도 변수가 라고 하자 (, ). 즉, 해밀토니언 함수 는 작용 변수에만 의존하고, 각도 변수에 의존하지 않는다. 이 계의 운동 방정식

이며, 따라서 들은 운동 상수이며, 계의 에 대한 주기는 이다. 만약 들의 비가 유리수라면 이는 해밀턴 방정식의 주기적 해를 이루며, 무리수라면 이는 해밀턴 방정식의 준주기적(영어: quasiperiodic) 해를 이룬다. 각 에 대응하는 차원 원환면불변 원환면(영어: invariant torus)이라고 한다.

이제, 해밀토니언 함수에 미세한 적분 불가능 섭동을 주자.

그렇다면, 만약 가 충분히 작다면 불변 원환면들이 그대로 유지되는지 물을 수 있다. 콜모고로프-아르놀트-모저 정리는 이 문제에 대한 해답을 제공한다.

구체적으로, 임의의 벡터 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 상수 가 존재한다면, 디오판토스 벡터(영어: Diophantine vector)라고 하자.

르베그 측도에 대하여 거의 모든 벡터가 디오판토스 벡터임을 보일 수 있다.

콜모고로프-아르놀트-모저 정리에 따르면, 만약 임의의 에 대하여

  • 가 디오판토스 벡터이며,
  • 헤세 행렬 가역 행렬이라면,

충분히 작은 에 대하여, 섭동된 해밀토니언 에 대하여 주기가 인 준주기적 해가 존재한다. (만약 에 대한 해가 주기적이더라도, 에 대한 해는 일반적으로 준주기적이다.)

여기서 "충분히 작은 에 대하여"는 구체적으로 다음과 같은 뜻이다.

의 복소수 닫힌 근방

으로 해석적 연속될 수 있다고 하고,

라고 할 때, 이라면 -디오판토스 벡터에 대하여 준주기적인 해가 존재하게 되는 양의 실수 이 존재한다. (이 실수는 디오판토스 벡터의 정의에서의 상수 에 의존한다.)

역사[편집]

안드레이 콜모고로프[1] · 블라디미르 아르놀트[2] · 위르겐 모저[3] 가 증명하였다.

참고 문헌[편집]

  1. .N. Kolmogorov. On the Conservation of Conditionally Periodic Motions under Small Perturbation of the Hamiltonian. Dokl. Akad. Nauk SSR, 98:527–530, 1954
  2. Arnol'd, V. I. "Proof of a Theorem of A. N. Kolmogorov on the Preservation of Conditionally Periodic Motions under a Small Perturbation of the Hamiltonian." Uspehi Mat. Nauk 18, 13-40, 1963
  3. Moser, J. "On Invariant Curves of Area-Preserving Mappings of an Annulus." Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II, 1-20, 1962

외부 링크[편집]