콘웨이군 (수학)

군론에서 콘웨이군(영어: Conway group)은 존 호턴 콘웨이가 도입한 산재군 Co₁, Co₂, Co₃ 및 이와 관련된 유한군 Co₀이다.

콘웨이 군 중 가장 큰 Co₀는 덧셈 및 내적에 대한 리치 격자 Λ의 자기동형군으로, 위수 8,315,553,613,086,720,000을 갖고, 단순군이 아니다.

단순군 Co₁은 Co₀를 스칼라 행렬 ±1로 구성된 중심에 의한 몫군으로 정의되고, 위수 4,157,776,806,543,360,000를 갖는다.

리치 격자의 내적은 두 벡터의 스칼라곱의 1/8로 정의되고, 정수값을 갖는다. 벡터의 제곱 노름은 자신과의 내적이며 항상 짝수이다. 리치 격자의 벡터에 대해 그 제곱 노름의 절반을 벡터의 유형이라고 한다. 콘웨이 군의 부분군은 종종 관련된 고정점의 유형을 참조하여 이름이 붙는다. 리치 격자에는 유형 1의 벡터가 없다.

Co₂ (위수 42,305,421,312,000) 및 Co₃ (위수 495,766,656,000)은 각각 유형 2와 유형 3의 격자 벡터를 고정하는 리치 격자 Λ의 자기동형으로 구성된다. 스칼라 −1은 영벡터가 아닌 벡터를 고정하지 않으므로 이 두 군은 Co₁의 부분군과 동형이다.

역사

톰프슨 (1983)은 존 리치가 1964년경 큰 차원 유클리드 공간에서의 조밀한 구 채우기 문제를 연구한 방법에 대해 설명한다. 리치의 발견 중 하나는 훗날 리치 격자라고 불리게 되는 격자를 통한 24차원의 구 채우기였다. 리치는 리치 격자의 대칭군이 흥미로운 단순군에 포함되어 있는지 궁금해했지만, 군론에 조예가 깊은 이의 도움이 필요함을 느꼈다. 다른 수학자들은 이미 자신이 몰두하고 있는 주제가 있었기에 리치가 도움을 얻는 것은 쉽지 않았다. 존 호턴 콘웨이가 같이 문제에 대해 궁리하였다. 존 그리그스 톰프슨은 군의 위수가 주어진다면 흥미로울 것이라고 말하였다. 콘웨이는 문제에 몇 달 혹은 몇 년을 써야 할 것으로 예측했지만, 몇 번의 회의를 통해 의외로 빠르게 결과를 얻을 수 있었다.

Witt (1998)은 그가 리치 격자를 1940년에 발견하였다고 말했고, 그것의 자기동형군 Co₀의 위수를 계산하였다고 암시했다.

부분 격자 군

콘웨이와 톰프슨은 회의 (Brauer & Sah 1969)에서 설명된 4개의 산재군이 Co₀의 부분군 또는 부분군의 몫과 동형임을 발견했다.

콘웨이는 점을 접두사로 붙인 점과 부분공간의 안정자에 대한 표기법을 사용했다. Co₀ 및 Co₁인 .0 및 .1은 예외이다. 정수 n ≥ 2에 대해 .n은 리치 격자에서 유형 n인 점의 안정자를 나타낸다.

콘웨이는 정점을 원점으로 하는 삼각형으로 정의된 평면의 안정자를 명명했다. .hkl 을 h, k 및 l 유형의 모서리(정점의 차이)가 있는 삼각형의 점별 안정자라고 하자. 이러한 삼각형은 h-k-l 삼각형이라고 한다. 가장 단순한 경우에 Co₀는 문제에서의 점 또는 삼각형에 전이적이고 안정자 군은 켤레의 차이를 무시하고 정의된다.

콘웨이는 .322으로 매클로플린 군 McL(위수 898,128,000)을, .332으로 히그만-심즈 군 HS(위수 44,352,000)를 식별했다.

다음은 일부 부분 격자 군의 표이다.

이름	위수	구조	정점의 예
•2	218 36 53 7 11 23	Co2	(−3, 123)
•3	210 37 53 7 11 23	Co3	(5, 123)
•4	218 32 5 7 11 23	211:M 23	(8, 023)
•222	215 36 5 7 11	PSU6(2) ≈ Fi21	(4, −4, 022), (0, −4, 4, 021)
•322	27 36 53 7 11	McL	(5, 123 ), (4, 4, 022 )
•332	29 32 53 7 11	HS	(5, 123), (4, −4, 022)
•333	24 37 5 11	35:M11	(5, 123), (0, 212, 011)
•422	217 32 5 7 11	210:M22	(8, 023), (4, 4, 022)
•432	27 32 5 7 11 23	M23	(8, 023), (5, 123)
•433	210 32 5 7	24.A8	(8, 023), (4, 27, −2, 015)
•442	212 32 5 7	21+8.A7	(8, 023), (6, −27, 016)
•443	27 32 5 7	M21:2 ≈ PSL3(4):2	(8, 023), (5, −3, −3, 121)

다른 두 개의 산재군

두 개의 부분 산재군은 리치 격자 구조의 안정자의 몫으로 정의할 수 있다. R²⁴를 C¹²로, Λ를 $\mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12}$로 식별하면, 결과적인 자기동형군(즉, 복소 구조를 보존하는 리치 격자의 자기동형군)은 복소 스칼라 행렬의 6개 요소 그룹으로 나눌 때 스즈키 산재군 Suz(위수 448,345,497,600)이 나타난다. 스즈키 산재군은 1968년 스즈키 미치오에 의해 발견되었다.

유사한 구성을 통해 Hall-Janko 군 J₂ (위수 604,800)는 ±1 스칼라 군에 의한 Λ의 사원수 자기동형군의 몫으로 얻는다.

위에 설명된 7개의 단순군은 로버트 그리스가 2세대 Happy Family 라고 부르는 것으로 구성되며, 괴물군 내에서 발견되는 20개의 산재군으로 구성된다. 군 7개 중 몇 개는 적어도 1세대 를 구성하는 5개 마티외 군 중 일부를 포함한다.

일반화된 가공할 헛소리

콘웨이와 Norton은 1979년 논문에서 가공할 헛소리가 괴물군에게만 국한되지 않는다고 제안했다. Larissa Queen과 다른 사람들은 산재군의 차원의 단순한 조합으로 많은 Hauptmoduln의 확장을 구성할 수 있음을 나중에 발견했다. 콘웨이 군의 경우 관련 McKay-Thompson 급수는 다음과 같다. $T_{2A}(\tau )$ = {1, 0, 276, −2048, 11202, −49152, ...} (  A007246 ) 및 $T_{4A}(\tau )$ = {1, 0, 276, 2048, 11202, 49152, ...} (  A097340 )

${\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end{aligned}}$

여기서 상수항 a(0) = 24, η(τ)는 데데킨트 에타 함수이다.

참고 문헌

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