코시의 정리 (군론)

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

군론에서, 코시의 정리(영어: Cauchy's theorem)는 유한군의 크기의 소인수가 항상 어떤 원소의 위수라는 정리이다. 제1 쉴로브 정리의 특별한 경우이다.[1]:324

정의[편집]

코시의 정리에 따르면, 만약 유한군의 크기 소인수라면, 는 위수가 인 원소를 갖는다.[1]:322

증명[편집]

우선 유한 아벨 군 에 대한 정리를 증명하자. 임의의 를 취하고

라고 가정하자. 그렇다면

이므로, 귀납 가설에 따라

가 존재한다. 따라서

이다. 또한

이므로, (안 그러면 이므로 모순이다.)

이다. 이제 일반 유한군에 대한 정리를 증명하자. 가 최소 크기 반례라고 하자. 그렇다면 아벨 군이 아니다. 켤레류 방정식

에 따라,

이거나,

이다. (안 그러면 이므로 모순이다.) 따라서 는 반례가 아니며, 이는 모순이다.

역사[편집]

프랑스 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름이 붙어 있다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Fraleigh, John B.; Katz, Victor (2003). 《A First Course In Abstract Algebra》. Addison-Wesley.