자기 조밀 공간

일반위상수학에서 자기 조밀 공간(自己稠密空間, 영어: dense-in-itself space)은 고립점을 갖지 않는 위상 공간이다.

정의

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 자기 조밀 공간 또는 완전 공간(完全空間, 영어: perfect space)이라고 한다.

• $X$는 고립점을 갖지 않는다. 즉, 모든 한원소 집합 $\{x\}\subseteq X$은 열린집합이 아니다.
• 모든 점이 스스로의 극한점이다.^{:31, §6.A} 즉, $X=\operatorname {acc\,pt} _{2}(X)$이다. (여기서 $\operatorname {acc\,pt} _{2}(X)$는 $X$의 극한점들의 집합이다.)

이와 관련된 위상 공간의 종류로 다음이 있다.

모든 한원소 집합이 …	닫힌집합이어야 한다	열린집합이어야 한다	닫힌집합일 수 없다	열린집합일 수 없다	열린집합과 닫힌집합의 교집합이어야 한다
위상 공간의 종류	T1 공간	이산 공간	(특별한 이름이 없음)	자기 조밀 공간	TD 공간

완전 집합

위상 공간 $X$의 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 완전 집합(完全集合, 영어: perfect set)이라고 한다.

• $Y=\operatorname {acc\,pt} _{2}(Y)$이다. (여기서 $\operatorname {acc\,pt} _{2}(Y)$는 $Y$의 극한점들의 집합이다.)
• $Y$는 $X$의 닫힌집합이며, $Y$는 (독립적인 위상 공간으로 여겼을 때) 자기 조밀 공간이다.^{:31, §6.A}

완전 집합 성질

위상 공간 $X$의 부분 집합 $Y\subseteq X$가 다음 두 조건 가운데 하나 이상을 만족시킨다면, 완전 집합 성질(完全集合性質, 영어: perfect-set property)을 만족시킨다고 한다.^:150

• 가산 집합이다.
• $C\subseteq Y$인 $X$-완전 집합 $C\subseteq X$가 존재한다.

성질

칸토어-벤딕손 정리

$\kappa$가 무한 정칙 기수라고 하고, 크기 $\kappa$ 미만의 기저를 갖는 위상 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 칸토어-벤딕손 정리(Cantor-Bendixson定理, 영어: Cantor–Bendixson theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.^{:32, Theorem 6.4}

• $X\setminus \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)$는 $X$의, 크기 $\kappa$ 미만의 열린집합이다.

증명:

$X$의 크기 $\kappa$ 미만의 기저를 ${\mathcal {B}}$라고 하자. 정의에 따라 $\textstyle X\setminus \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)=\bigcup \{U\in {\mathcal {B}}\colon |U|<\kappa \}$이며, 정칙 기수의 정의에 따라 우변은 크기 $\kappa$ 미만의 열린집합이다.

• $\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)$는 $X$의 완전 집합이다.

증명:

다음 두 명제를 보이면 족하다.

• $\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)\subseteq \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X))\subseteq \operatorname {acc\,pt} _{2}(\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X))$
  • 증명: 임의의 $x\in \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)$ 및 그 근방 $U\ni x$에 대하여, $|U|\geq \kappa$이지만 $|X\setminus \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)|<\kappa$이므로 $|U\cap \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)|\geq \kappa$이다.
• $\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)\supseteq \operatorname {acc\,pt} _{2}(\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X))$
  • 증명: 이는 $\operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)$가 닫힌집합이라는 것과 동치인데, $X\setminus \operatorname {acc\,pt} _{\kappa }(X)$가 열린집합임을 이미 증명하였다.

특히, $\kappa =\aleph _{1}$로 놓자. 그렇다면, 제2 가산 공간 $X$의 경우,

• $X$의 $\aleph _{1}$-집적점이 아닌 점들의 집합은 $X$의 가산 열린집합이다.
• $X$의 $\aleph _{1}$-집적점들의 집합은 $X$의 완전 집합이다.

특히, 폴란드 공간의 닫힌집합은 완전 집합 성질을 갖는다. 특히, 모든 폴란드 공간은 고립점을 갖지 않는 닫힌집합과, 이와 서로소인 가산 열린집합으로 분해할 수 있다.

집합의 크기

폴란드 공간의 모든 완전 집합의 크기는 0이거나 $2^{\aleph _{0}}$이다. 따라서, 폴란드 공간 속의 완전 집합 성질 집합의 크기는 $\aleph _{0}$ 이하이거나 $2^{\aleph _{0}}$이다. 즉, 폴란드 공간 속의 완전 집합 성질 집합은 연속체 가설의 반례가 될 수 없다.

예

연결 T₁ 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 자기 조밀 공간이다.
• 한원소 공간이 아니다.

증명:

한원소 공간이 자기 조밀 공간이 아니라는 것은 자명하다. 반대로, $X$가 연결 T₁ 공간이라고 하고, $x\in X$가 고립점이라고 하자. (공집합은 정의에 따라 연결 공간이 아니다.) 즉, $\{x\}$가 열린집합이라고 하자. T₁ 공간 조건에 의하여 사실 $\{x\}$는 열린닫힌집합이다. 그런데 연결 공간에서 열린닫힌집합은 $X$ 전체 또는 $\varnothing$ 밖에 없다. 따라서, $X=\{x\}$이다.

실수선은 자기 조밀 공간이다. 칸토어 집합은 자기 조밀 완전 분리 공간이다.

무리수의 위상 공간 $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R}$는 자기 조밀 공간이지만, 이는 $\mathbb {R}$의 닫힌집합이 아니므로 $\mathbb {R}$의 완전 집합이 아니다.

시에르핀스키 공간 $\{\circ ,\bullet \}$에서, $\{\bullet \}$이 닫힌집합이라고 할 때, $\circ \in \{\circ ,\bullet \}$는 고립점이다. 즉, 시에르핀스키 공간은 자기 조밀 공간이 아니다. 이는 시에르핀스키 공간은 연결 공간이며 한원소 공간이 아니지만, T₁ 공간도 아니기 때문에 가능하다. 시에르핀스키 공간의 부분 집합 가운데, 특별한 성질을 갖는 것은 다음과 같다.

• 시에르핀스키 공간의 자기 조밀 집합은 $\{\circ \}$, $\{\bullet \}$, $\varnothing$ 세 개이다.
• 시에르핀스키 공간의 완전 집합은 $\{\bullet \}$과 $\varnothing$ 두 개이다.
• 시에르핀스키 공간의 모든 부분 집합은 완전 집합 성질을 만족시킨다. (이는 시에르핀스키 공간이 가산 집합이기 때문이다.)

역사

칸토어-벤딕손 정리는 게오르크 칸토어와 이바르 오토 벤딕손이 증명하였다.

외부 링크

• “Perfect set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Definition: dense-in-itself”. 
• “Definition: perfect set”. 
• Ma, Dan (2010년 5월 27일). “Perfect sets and Cantor sets, I”. 《Dan Ma’s Topology Blog》 (영어). 
• Ma, Dan (2010년 5월 30일). “Perfect sets and Cantor sets, II”. 《Dan Ma’s Topology Blog》 (영어).