칸토어의 교점 정리

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일반위상수학에서, 칸토어의 교점 정리(Cantor-交點定理, 영어: Cantor’s intersection theorem)는 점점 작아지는 (공집합이 아닌) 콤팩트 집합들의 교집합공집합이 아니라는 정리이다.

정의[편집]

위상 공간 속의 콤팩트 닫힌집합들로 구성된 하향 집합 가 주어졌다고 하자. 칸토어의 교점 정리에 따르면, 인 것은 인 것과 동치이다.[1]:428, Lemma A.2.2

증명:

이라면 자명하게 이다. 반대로 이라고 하자. 그렇다면, 임의의 에 대하여, 하향 집합의 정의에 따라

이다. 따라서

열린 덮개이다. 그런데 콤팩트 공간이므로, 유한 부분 덮개

를 찾을 수 있다. 그렇다면 하향 집합의 정의에 의하여 하계

를 찾을 수 있다. 그런데 덮개의 정의에 의하여

이므로 이다.

특히, 속의 콤팩트 닫힌집합들의 하강

하향 집합을 이루므로 위 정리가 성립한다. 만약 하우스도르프 공간이라면 모든 콤팩트 집합닫힌집합이므로, 닫힌집합 가정을 생략할 수 있다.

약간 다른 형태로, 집합 속의 부분 집합들의 족 이 다음 조건을 만족시킨다면 유한 교집합 성질(영어: finite intersection property)을 만족시킨다고 한다.

  • 임의의 유한 부분 집합 에 대하여,

위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 콤팩트 공간이다.
  • 속의 임의의 닫힌집합들의 족 가 유한 교집합 성질을 만족시킨다면, 이다.

이로부터 하향 집합에 대한 형태를 쉽게 유도할 수 있다.

역사[편집]

게오르크 칸토어가 증명하였다. 칸토어 집합은 이 정리를 사용하여 공집합이 아님을 보일 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. de Vries, Jan (2014). 《Topological dynamical systems: an introduction to the dynamics of continuous mappings》. De Gruyter Studies in Mathematics (영어) 59. ISBN 978-3-11-034240-6. 

바깥 고리[편집]