초자연 변환

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범주론에서, 초자연 변환(超自然變換, 영어: extranatural transformation)은 자연 변환의 개념의 일반화이다.[1]:§Ⅸ.4[2] 자연 변환과 달리, 초자연 변환은 정의역이 서로 다른 두 함자 사이에도 정의될 수 있다.

정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 범주 , , ,
  • 두 함자

그렇다면, 에 대하여 자연적이며, 에 대하여 초자연적인 초자연 변환 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.[1]:219, §§Ⅸ.4[2]:Definition 1.5

  • , , 에 대하여, 사상

이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  • (에서의 자연성) 각 에 대하여, 자연 변환이다. 즉, 임의의 사상 에 대하여 다음 그림이 가환 그림이다.
  • (에서의 초자연성) 각 에 대하여, 다음 그림이 가환 그림이다.
  • (에서의 초자연성) 각 에 대하여, 다음 그림이 가환 그림이다.

연산[편집]

임의의 초자연 변환은 임의로 합성될 수 없으나, 합성이 가능한 경우는 끈 그림(영어: string diagram)이라는 위상수학적 모형으로 계산될 수 있다.

구체적으로, 에서 로 가는 초자연 변환은 다음과 같은 꼴의 끈 그림(영어: string diagram)으로 나타낼 수 있다.[2]:§1

A B B
│ ╰─╯
│ ╭─╮
A C C

두 초자연 변환의 합성은 위와 같은 끈 그림의 합성으로 나타내어지는데, 이 경우 합성된 끈 그림이 순환을 갖지 않아야 한다. 예를 들어

    A
╭─╮ │
A A A
│ ╰─╯
│ ╭─╮
A C C

는 가능하며, 초자연 변환

A
│
│ ╭─╮
A C C

을 정의한다. 반면, 예를 들어

A
│ ╭─╮
A B B
│ ╰─╯
A

와 같은 합성은 불가능하다.

[편집]

닫힌 모노이드 범주 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 지수 대상의 텐서곱 함자

항등 함자

가 존재한다. 이 사이에는 다음과 같은 초자연 변환이 존재한다.

이는 에 대하여 자연적이며, 에 대하여 초자연적인 초자연 변환이다.[1]:220, §Ⅸ.4

예를 들어, 만약 위의 유한 차원 벡터 공간의 범주 이며, 일 때, 이는 벡터 공간과 그 쌍대 공간 사이의 내적

에 해당한다.

참고 문헌[편집]

  1. Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. 
  2. Loregian, Fosco (2015). “This is the (co)end, my only (co)friend” (영어). Bibcode:2015arXiv150102503L. arXiv:1501.02503. 

외부 링크[편집]