체흐 신경

원 $\mathbb {S} ^{1}$은 세 개의 원소를 갖는 열린 덮개를 갖는다. 각 열린집합은 체흐 신경의 꼭짓점(0차 단체)에 대응하며, 두 열린집합의 교집합은 체흐 신경의 변(1차 단체)에 대응한다. 이 예에서 세 개의 열린집합의 교집합(즉, 2차 단체)은 존재하지 않는다.

범주론과 대수적 위상수학에서 체흐 신경(Čech神經, 영어: Čech nerve)은 (충분한 올곱을 갖는) 범주에서, 어떤 사상을 통해 정의되는 단체 대상이다. 기하학적으로, 이 사상은 대략 어떤 “덮개”로 해석된다. 체흐 코호몰로지를 구성하는 데 사용된다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 범주 ${\mathcal {C}}$
• ${\mathcal {C}}$ 속의 사상 $f\colon U\to X$

그렇다면, (만약 모든 올곱들이 존재한다면) 다음과 같은 단체 대상

$\operatorname {\check {C}} (f)\colon \triangle ^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {C}}$

을 정의할 수 있다.

• 자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여,

  $\operatorname {\check {C}} (f)_{n}=U^{\times _{X}(n+1)}=\overbrace {U\times _{X}U\times _{X}\dotsb \times _{X}U} ^{n+1}$

• 면 사상은 다음과 같다. (즉, $i$번째 성분만을 제외한, 올곱의 표준적 사영 사상이다.)

  $\partial _{i}^{n}\colon U^{\times _{X}(n+1)}\to U^{\times _{X}n}\qquad (0\leq i\leq n)$

  $\partial _{i}^{n}=\operatorname {proj} _{0,1,2,\dotsc ,{\hat {\imath }},\dotsc ,n}=\underbrace {\operatorname {id} _{U}\times _{X}\dotsb \times _{X}\operatorname {id} _{U}} _{i}\times _{X}f\times _{X}\underbrace {\operatorname {id} _{U}\times _{X}\dotsb \times _{X}\operatorname {id} _{U}} _{n-i}$

• 퇴화 단체 사상은 다음과 같다.

  $s_{i}^{n}\colon U^{\times _{X}(n+1)}\to U^{\times _{X}(n+2)}\qquad (0\leq i\leq n)$

  $s^{n}=\underbrace {\operatorname {id} _{U}\times _{X}\dotsb \times _{X}\operatorname {id} _{U}} _{i}\times _{X}\operatorname {diag} _{U}\times _{X}\underbrace {\operatorname {id} _{U}\times _{X}\dotsb \times _{X}\operatorname {id} _{U}} _{n-i}$

이를 $U\to X$의 체흐 신경이라고 한다.

예

열린 덮개

매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주 $\operatorname {Diff}$에서, 매끄러운 다양체 $M$의 열린 덮개 ${\mathcal {U}}=\{U_{i}\}_{i\in I}$가 주어졌다고 하자. (대신 위상 공간의 범주를 사용할 수도 있다.) 그렇다면,

${\tilde {X}}=\bigsqcup _{i\in I}U_{i}$

를 정의하면, 표준적인 사영 사상

$f\colon {\tilde {X}}\to X$

이 존재하며, 이에 대한 체흐 신경을 구성할 수 있다. 즉, 이 경우 구체적으로

• 0차 단체는 $x\in U_{i}$인 순서쌍 $(x,i)$이다. 0차 단체의 공간은 ${\tilde {X}}=\textstyle \bigsqcup _{i\in I}U_{i}$이다.
• 1차 단체는 $x\in U_{i}\cap U_{j}$인 순서쌍 $(x,i,j)$이다. 2차 단체의 공간은 $\textstyle {\tilde {X}}\times _{X}{\tilde {X}}=\bigsqcup _{i,j\in I}U_{i}\cap U_{j}$이다.
  • 1차 단체 $(x,i,j)$의 두 면(끝점)은 $\partial _{0}^{1}(x,i,j)=(x,j)$ 및 $\partial _{1}^{1}(x,i,j)=(x,i)$이다.
  • 0차 단체 $(x,i)$에 대응하는 퇴화 1차 단체는 $s_{0}^{0}(x,i)=(x,i,i)$이다.
• 2차 단체는 $x\in U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$인 순서쌍 $(x,i,j,k)$이다. 2차 단체의 공간은 $\textstyle {\tilde {X}}\times _{X}{\tilde {X}}\times _{X}{\tilde {X}}=\bigsqcup _{i,j,k\in I}U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}$이다.
  • 2차 단체 $(x,i,j,k)$의 세 면(변)은 $\partial _{0}^{2}(x,i,j,k)=(x,j,k)$, $\partial _{1}^{2}(x,i,j,k)=(x,i,k)$, $\partial _{2}^{2}(x,i,j,k)=(x,i,j)$이다.
  • 1차 단체 $(x,i,j)$에 대응하는 퇴화 2차 단체는 $s_{0}^{1}(x,i,j)=(x,i,i,j)$, $s_{1}^{1}(x,i,j)=(x,i,j,j)$이다.

체흐 코호몰로지는 이 단체 대상에 대한 코호몰로지 이론이다.

분류 공간

 이 부분의 본문은 분류 공간입니다.

위상군 $G$가 주어졌다고 하자. 이제, 자명군으로 가는 (유일한) 군 준동형

$G\to 1$

을 생각하자. 이에 대한 체흐 신경은 다음과 같다.

• 0차 단체는 $g\in G$이다. 0차 단체의 공간은 $G$이다.
• 1차 단체는 $(g,h)\in G^{2}$이다. 1차 단체의 공간은 $G^{2}$이다.
  • 0차 단체의 퇴화 단체는 $(g,g)$의 꼴이다.
  • 1차 단체의 면은 $\partial _{0}^{1}(g,h)=h$, $\partial _{1}^{1}(g,h)=g$이다.
• 2차 단체는 $(g,h,k)\in G^{3}$이다. 2차 단체의 공간은 $G^{3}$이다.

이와 같이, 단체군 $\mathrm {E} G$를 정의할 수 있다. 이 위에는 다음과 같은 $G$의 오른쪽 군 작용이 존재한다.

$g\colon (h_{0},h_{1},h_{2},\dots ,h_{n})\mapsto (h_{0}g,h_{1}g,h_{2}g,\dots ,h_{n}g)$

이 오른쪽 군 작용은 추이적 작용이며, 기하학적 실현을 취하면 이는 $G$-주다발

$G\hookrightarrow \mathrm {E} G\twoheadrightarrow \mathrm {B} G={\frac {\mathrm {E} G}{G}}$

을 이룬다. 이는 위상군 $G$의 분류 공간이며, 만약 $G$가 이산군이라면 에일렌베르크-매클레인 공간 $\operatorname {K} (G,1)$을 이룬다.

역사

이러한 “단체”는 위상 공간의 범주에서 에두아르트 체흐가 도입하였다.

참고 문헌

• Artin, Michael; Mazur, Barry (1969). 《Etale homotopy》. Springer. 
• “Nerve theorem”. 《nLab》 (영어). 
• Samuel Eilenberg and Norman Steenrod: Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press, 1952, p. 234.

외부 링크

• “Čech nerve”. 《nLab》 (영어). 
• “Čech methods”. 《nLab》 (영어). 
• “Čech cohomology”. 《nLab》 (영어).