체흐 신경

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은 세 개의 원소를 갖는 열린 덮개를 갖는다. 각 열린집합은 체흐 신경의 꼭짓점(0차 단체)에 대응하며, 두 열린집합의 교집합은 체흐 신경의 변(1차 단체)에 대응한다. 이 예에서 세 개의 열린집합의 교집합(즉, 2차 단체)은 존재하지 않는다.

범주론대수적 위상수학에서, 체흐 신경(Čech神經, 영어: Čech nerve)은 (충분한 올곱을 갖는) 범주에서, 어떤 사상을 통해 정의되는 단체 대상이다. 기하학적으로, 이 사상은 대략 어떤 “덮개”로 해석된다. 체흐 코호몰로지를 구성하는 데 사용된다.

정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 범주
  • 속의 사상

그렇다면, (만약 모든 올곱들이 존재한다면) 다음과 같은 단체 대상

을 정의할 수 있다.

  • 자연수 에 대하여,
  • 면 사상은 다음과 같다. (즉, 번째 성분만을 제외한, 올곱의 표준적 사영 사상이다.)
  • 퇴화 단체 사상은 다음과 같다.

이를 체흐 신경이라고 한다.

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열린 덮개[편집]

매끄러운 다양체매끄러운 함수의 범주 에서, 매끄러운 다양체 열린 덮개 가 주어졌다고 하자. (대신 위상 공간의 범주를 사용할 수도 있다.) 그렇다면,

를 정의하면, 표준적인 사영 사상

이 존재하며, 이에 대한 체흐 신경을 구성할 수 있다. 즉, 이 경우 구체적으로

  • 0차 단체는 인 순서쌍 이다. 0차 단체의 공간은 이다.
  • 1차 단체는 인 순서쌍 이다. 2차 단체의 공간은 이다.
    • 1차 단체 의 두 면(끝점)은 이다.
    • 0차 단체 에 대응하는 퇴화 1차 단체는 이다.
  • 2차 단체는 인 순서쌍 이다. 2차 단체의 공간은 이다.
    • 2차 단체 의 세 면(변)은 , , 이다.
    • 1차 단체 에 대응하는 퇴화 2차 단체는 , 이다.

체흐 코호몰로지는 이 단체 대상에 대한 코호몰로지 이론이다.

분류 공간[편집]

위상군 가 주어졌다고 하자. 이제, 자명군으로 가는 (유일한) 군 준동형

을 생각하자. 이에 대한 체흐 신경은 다음과 같다.

  • 0차 단체는 이다. 0차 단체의 공간은 이다.
  • 1차 단체는 이다. 1차 단체의 공간은 이다.
    • 0차 단체의 퇴화 단체는 의 꼴이다.
    • 1차 단체의 면은 , 이다.
  • 2차 단체는 이다. 2차 단체의 공간은 이다.

이와 같이, 단체군 를 정의할 수 있다. 이 위에는 다음과 같은 오른쪽 군 작용이 존재한다.

오른쪽 군 작용추이적 작용이며, 기하학적 실현을 취하면 이는 -주다발

을 이룬다. 이는 위상군 분류 공간이며, 만약 가 이산군이라면 에일렌베르크-매클레인 공간 을 이룬다.

역사[편집]

이러한 “단체”는 위상 공간의 범주에서 에두아르트 체흐가 도입하였다.

참고 문헌[편집]

  • Artin, Michael; Mazur, Barry (1969). 《Etale homotopy》. Springer. 
  • “Nerve theorem”. 《nLab》 (영어). 
  • Samuel Eilenberg and Norman Steenrod: Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press, 1952, p. 234.

외부 링크[편집]