천 특성류

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대수적 위상수학미분기하학에서, 천 특성류(Chern[陳]特性類, Chern class)는 복소 벡터 다발에 대한 특성류이다. 매끄러운 다양체 위의 한 벡터 다발에 대한 위상적 불변량(topological invariants)이다. 두 벡터 다발이 사실 같은 다발인지 판별하는 데 유용하다.

천 특성류와 천 지표(Chern character)는 아티야-싱어 지표 정리에서 쓰인다. 다양체의 구체적인 성질을 모르더라도 어떤 미분 연산자에 의해 사라지는 함수의 개수를 구할 수 있다.

정의[편집]

매끄러운 다양체 M 위의 복소 벡터 다발 E를 생각하자. 벡터 다발에 임의의 접속 A\in C^\infty\big(T^*M\otimes\operatorname{End}(E)\big)와 그 곡률

R_A=dA+[A\wedge A]\in C^\infty\big(\bigwedge{}^2T^*M\otimes\operatorname{End}(M)\big)

를 정하자. 그렇다면 다음 다항식을 정의할 수 있다.

C(t;A)=\det(1+itR_A/2\pi).

여기서 t는 형식적인 변수다. (R_A는 2-형식이고, 짝수 차원의 미분형식은 가환하므로 행렬식을 정의할 수 있다.) C는 닫혀 있음을 보일 수 있다. 따라서 동치류

c(t,A)=[C(t;A)]\in\bigoplus_kH^{2k}(M;\mathbb C)[t]

를 정의할 수 있다. 이는 접속 A에 관계없음을 보일 수 있다. 즉

c(t,A)=c(t)

이다. 천 특성류의 원소 c_k\in H^{2k}(M,\mathbb C)c(t)테일러 급수

c(t)=\sum_kc_kt^k

의 계수다.

실수 벡터 다발에 대해서도 유사한 특성류를 정의할 수 있는데, 이를 폰트랴긴 특성류라고 한다. 또한, 슈티펠-휘트니 특성류도 실수 벡터 다발에 대한 천 특성류에 대응하는 객체로 생각할 수 있다.

천 지표[편집]

복소수 선다발 L의 천 지표(Chern character)는 1차 천 특성류의 지수함수다. 즉, 다음과 같다.

\operatorname{ch}(L)=\exp(c_1(L))

일반적인 복소수 벡터 다발 E=L_1\oplus\cdots\oplus L_n의 천 특성류는 이에 따라 다음과 같다.

\operatorname{ch}(E)=\sum_{i=1}^n\exp(c_1(L_i))

성질[편집]

복소수 n차원 복소다양체 M접다발 TM의 천 특성류 c_k(TM)TM(n-k+1)개의, 모든 곳에서 선형 독립단면을 갖는 것에 대한 방해 조건(영어: obstruction)이다. 즉, c_k(TM)=0이어야지만 이만큼의 선형 독립 벡터장들이 존재할 수 있다.[1]:8, Remark 1.3.1 특히, c_n(TM)은 모든 곳에서 0이 아닌 벡터장이 존재할 방해 조건이며, c_1(TM)은 모든 곳에서 0이 아닌 (복소수) 필바인이 존재할 방해 조건이다.

복소수 n차원 복소다양체 M의 최고차 천 특성류 c_n(TM)는 그 오일러 특성류 e(TM)과 같다.

[편집]

자명한 복소수 벡터 다발의 천 특성류는 항상 0이다. 벡터 다발의 쌍대다발의 천 특성류는 원래 벡터 다발의 천 특성류의 −1배이다.

c(E^*)=-c(E)

리만 곡면[편집]

콤팩트 리만 곡면 \Sigma 위의, 인자 D에 대응하는 선다발 \mathcal L(D)의 천 수는 그 차수 \deg D와 같다.

c(\mathcal L(D))=1+(\deg D)[\Sigma]\in H^\bullet(\Sigma;\mathbb Z)

특히, 리만 곡면의 접다발 \operatorname T\Sigma표준 선다발(=공변접다발) \operatorname T^*\Sigma의 차수는 각각 \chi(\Sigma)=2-2g-\chi(\Sigma)=2g-2이므로, 이들의 천 특성류는 다음과 같다.

c(\operatorname T\Sigma)=1+\chi(\Sigma)[\Sigma]
c(\operatorname T^*\Sigma)=1-\chi(\Sigma)[\Sigma]

만약 g=1일 경우 (원환면 = 복소수 타원 곡면), 접다발 및 표준 선다발이 자명한 선다발임을 알 수 있다. g\ne1일 경우, 리만 곡면 위의 모든 벡터장 V은 적어도 하나의 영점을 갖는다. 이는 푸앵카레-호프 정리

\sum_{z\colon V(z)=0}\operatorname{index}_zV=\chi(\Sigma)

의 한 예이다.

복소수 사영 공간[편집]

복소수 사영 공간 \mathbb{CP}^n의 경우, 다음과 같은 오일러 완전열이 존재한다.

0\to\mathcal O_{\mathbb{CP}^n}\to\mathcal O_{\mathbb{CP}^n}(1)^{\oplus(n+1)}\to\operatorname T\mathbb{CP}^n\to0

여기서 \mathcal O_{\mathbb{CP}^n}구조층이며, 이는 자명한 선다발이다 (복소수 사영 공간 위에 존재하는 정칙 함수상수 함수밖에 없다). \mathcal O_{\mathbb{CP}^n}(1)세르 뒤틀림층(=\mathbb{CP}^n의 정의에 따라 존재하는 선다발의 쌍대 다발)이다.

완전열의 첫 항이 자명하므로, 복소수 사영 공간의 접다발의 천 특성류는 다음과 같다.

c(\operatorname T\mathbb{CP}^n)=c(\mathcal O_{\mathbb{CP}^n}(1))^{n+1}=(1+c_1(\mathcal O_{\mathbb CP^n}(1)))^{n+1}

역사[편집]

천싱선이 1946년에 도입하였다.[2]

참고 문헌[편집]

  1. Brasselet, Jean-Paul; Seade, José; Suwa, Tatsuo (2009). 《Vector fields on singular varieties》 (영어). Lecture Notes in Mathematics 1987. Springer. doi:10.1007/978-3-642-05205-7. ISBN 978-3-642-05204-0. ISSN 0075-8434. 
  2. Chern, Shiing-Shen (1946년 1월). “Characteristic classes of Hermitian manifolds”. 《Annals of Mathematics》 47 (1): 85–121. doi:10.2307/1969037. MR 0015793. Zbl 0060.41416. 

바깥 고리[편집]