짝힘

물리학에서 짝힘 또는 커플(couple)은 크기는 같지만 작용 방향이 반대인 한 쌍의 힘이다. 짝힘은 병진 운동 없이 순수한 회전 운동을 생성한다.

단순 짝힘

가장 단순한 종류의 짝힘은 크기가 같고 방향이 반대인 두 힘 (물리학)으로 구성되며, 이들의 작용선은 일치하지 않는다. 이를 "단순 짝힘"이라고 부른다.^[1] 이 힘들은 힘의 평면에 수직인 축을 중심으로 토크라고 불리는 회전 효과 또는 모멘트를 발생시킨다. 짝힘 토크의 SI 단위는 뉴턴 미터이다.

두 힘이 $F$ 와 −F이면, 토크의 크기는 다음 공식으로 주어진다. $\tau =Fd$ 여기서

$\tau$ 는 짝힘의 모멘트
$F$ 는 힘의 크기
$d$ 는 두 평행한 힘 사이의 수직 거리 (모멘트)

토크의 크기는 F • d와 같으며, 토크의 방향은 두 힘을 포함하는 평면에 수직이고 반시계 방향이 양수인 단위 벡터 ${\hat {e}}$ 로 주어진다. $d$ 가 힘의 작용점 사이의 벡터로 간주될 때, 토크는 $d$ 와 $F$ 의 벡터곱이다. 즉, $\mathbf {\tau } =|\mathbf {d} \times \mathbf {F} |.$

기준점 독립성

힘의 모멘트는 특정 점 $P$ 에 대해서만 정의되며 (" $P$ 에 대한 모멘트"라고 함), 일반적으로 $P$ 가 변경되면 모멘트도 변경된다. 그러나 짝힘의 모멘트 (토크)는 기준점 $P$ 와 무관하다. 어떤 점을 선택하더라도 동일한 모멘트를 갖는다.^[1] 다시 말해, 짝힘은 다른 일반적인 모멘트와 달리 "자유 벡터"이다. (이 사실은 바리뇽의 두 번째 모멘트 정리라고 불린다.)^[2]

이 주장의 증명은 다음과 같다. 짝힘을 형성하는 힘 벡터 집합 F₁, F₂, ...가 있고, (어떤 원점 $P$ 에 대한) 위치 벡터 r₁, r₂, ...가 각각 있다고 가정한다. $P$ 에 대한 모멘트는

M=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots

이제 벡터 r만큼 $P$ 와 다른 새로운 기준점 $P'$ 를 선택한다. 새로운 모멘트는

M'=(\mathbf {r} _{1}+\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{1}+(\mathbf {r} _{2}+\mathbf {r} )\times \mathbf {F} _{2}+\cdots

이제 벡터곱의 분배법칙에 따라 다음이 성립한다.

M'=\left(\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots \right)+\mathbf {r} \times \left(\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots \right).

그러나 힘 짝힘의 정의에 따르면

\mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}+\cdots =0.

그러므로

M'=\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {F} _{1}+\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {F} _{2}+\cdots =M

이는 모멘트가 기준점과 무관하다는 것을 증명하며, 짝힘이 자유 벡터라는 증명이다.

힘과 짝힘

질량 중심에서 거리 d만큼 떨어진 강체에 가해지는 힘 F는 질량 중심에 직접 가해지는 동일한 힘과 짝힘 Cℓ = Fd와 같은 효과를 갖는다. 짝힘은 짝힘 평면에 수직인 방향으로 강체의 각가속도를 발생시킨다.^[3] 질량 중심에서의 힘은 방향 변경 없이 힘의 방향으로 물체를 가속시킨다. 일반적인 정리는 다음과 같다.^[3]

강체의 임의의 점 O′에 작용하는 단일 힘은 임의의 주어진 점 O에 작용하는 동일하고 평행한 힘 F와, F에 평행하고 모멘트가 M = Fd인 짝힘으로 대체될 수 있다. 여기서 d는 O와 O′의 거리이다. 반대로, 짝힘과 짝힘 평면 내의 힘은 적절하게 위치한 단일 힘으로 대체될 수 있다.

어떤 짝힘이든 동일한 평면 내에서 동일한 방향과 모멘트를 가지며, 원하는 힘 또는 원하는 팔을 가진 다른 짝힘으로 대체될 수 있다.^[3]

응용

짝힘은 공학 및 물리 과학에서 매우 중요하다. 몇 가지 예시는 다음과 같다.

손이 드라이버에 가하는 힘
드라이버 끝이 나사 머리에 가하는 힘
회전하는 프로펠러에 작용하는 항력
균일한 전기장 내의 전기 쌍극자에 가해지는 힘
우주선의 반동 제어 시스템
손이 스티어링 휠에 가하는 힘
'요동 짝힘'은 진동을 유발하는 규칙적인 불균형이다.

같이 보기

각주

1 2 Dynamics, Theory and Applications by T.R. Kane and D.A. Levinson, 1985, pp. 90–99: Free download
↑ Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64 Web link
1 2 3 어거스터스 제이 뒤 부아 (1902). 《The mechanics of engineering, Volume 1》. Wiley. 186쪽.

H.F. Girvin (1938) Applied Mechanics, §28 Couples, pp 33,4, Scranton Pennsylvania: International Textbook Company.

[Kane-1] 1 2 Dynamics, Theory and Applications by T.R. Kane and D.A. Levinson, 1985, pp. 90–99: Free download

[2] Engineering Mechanics: Equilibrium, by C. Hartsuijker, J. W. Welleman, page 64 Web link

[DuBois-3] 1 2 3 어거스터스 제이 뒤 부아 (1902). 《The mechanics of engineering, Volume 1》. Wiley. 186쪽.

[1]

[2]

[3]