뒤처진 퍼텐셜

전자기학에서 뒤처진 퍼텐셜(retarded potential)은 뒤처진 시간 $t-x/c$에서의 전하 및 전류 분포만을 반영하는 전기 퍼텐셜 또는 자기 퍼텐셜이다.

정의

전기장과 자기장이 생성되는 원천(source)인 전하 밀도와 전류 밀도가 시간에 따라 변화하는 경우, 소스에서 거리가 떨어진 지점에서 퍼텐셜은 그 순간의 전하밀도와 전류밀도에 영향을 받는 것이 아니라 과거의 전하밀도와 전류밀도에 따라 결정된다.

그 순간의 원천의 상태에 따라 영향을 받는 것이 아니라 과거의 상태에 영향을 받는 이유는 원천의 상태를 내포한 정보가 전달될 때 시간이 걸리기 때문이다. 이는 상대성 이론에서 정보 전달의 속도가 빛의 속도로 유한하다는 원리를 반영한 것이다.

연속적 분포의 전하 밀도와 전류 밀도의 뒤처진 퍼텐셜

전하 밀도와 전류 밀도가 연속적으로 분포한 경우, 로렌츠 게이지 조건아래에서 뒤처진 스칼라 퍼텐셜 $V$와 뒤처진 벡터 퍼텐셜 $\mathbf {A}$는 다음과 같다.

$V(\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r'} ,t_{r})}{|\mathbf {r-r'} |}}d^{3}\mathbf {r} '$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t_{r})}{|\mathbf {r-r'} |}}d^{3}\mathbf {r} '$

$t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r-r'} |}{c}}$

$\mathbf {r'}$은 원점과 원천 사이의 거리이고, $t_{r}$은 뒤처진 시간(retarded time)이다.

움직이는 점전하의 뒤처진 퍼텐셜

 이 부분의 본문은 리에나르-비헤르트 퍼텐셜입니다.

전하 밀도와 전류 밀도가 연속적으로 분포하는 것이 아니라 점전하가 움직이며 원천 역할을 하는 경우 로렌츠 게이지 조건 아래에서 뒤처진 스칼라 퍼텐셜 $V$와 뒤처진 벡터 퍼텐셜 $\mathbf {A}$는 다음과 같다.

$V(\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {q}{|\mathbf {r-r'} |-(\mathbf {r-r'} )\cdot \mathbf {v} /c}}$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {q\mathbf {v} }{|\mathbf {r-r'} |-(\mathbf {r-r'} )\cdot \mathbf {v} /c}}$

여기서 $\mathbf {r} '$는 뒤처진 시간 $t_{r}$일 때 입자의 위치이고, $\mathbf {v}$는 뒤처진 시간 $t_{r}$일 때 입자의 속도이다. 이 퍼텐셜을 리에나르-비헤르트 퍼텐셜이라고 한다.