부등식

수학에서 부등식(不等式, 영어: inequality, 문화어: 안같기식)은 두 수 또는 식에 대한 크기를 비교하는 식이다. 부등식은 두 개의 수 및 두 개의 식 사이의 부등호(不等號, 영어: inequality sign)로 구성된다.

예를 들어, $a>b$는 $a$가 $b$보다 크다는 뜻이다. 반대로, $a<b$는 a가 b보다 작다는 뜻이다. $\leq$와 $\geq$는 부등호에 등호를 합친 것으로, 두 수가 같은 경우를 포함하는 부등호이다. 즉, $a\leq b$는 $a<b$ 또는 $a=b$를 나타내며 $a\geq b$는 $a>b$ 또는 $a=b$를 나타낸다.

여러 값을 비교할 때에는 $a<b<c$와 같이 여러 부등식을 잇기도 한다. 예시로 $a<b<c$는 $a<b$이며 $b<c$인 것을 줄여 쓴 것으로 $a<c$이기도 하다.

정의

실수 집합 $\mathbb {R}$에서, 두 실수 $a,b\in \mathbb {R}$에 대한 부등식은 다음과 같다.

부등식	읽기	무변수 실례	절대 부등식 실례
$a\neq b$	$a$가 $b$와 같지 않다	$1\neq 2$ $2.5\neq 3$	$x^{2}\neq -1\qquad (x\in \mathbb {R} )$
$a>b$	$a$가 $b$보다 크다	$2>1$ $2.5>2$	$x^{2}>-1\qquad (x\in \mathbb {R} )$
$a<b$	$a$가 $b$보다 작다	$1<2$ $2<2.5$	$-1<x^{2}\qquad (x\in \mathbb {R} )$
$a\geq b$	$a$가 $b$보다 크거나 같다	$2>1$ $2\geq 2$	$x^{2}\geq 0\qquad (x\in \mathbb {R} )$
$a\leq b$	$a$가 $b$보다 작거나 같다	$1\leq 2$ $2\leq 2$	$0\leq x^{2}\qquad (x\in \mathbb {R} )$

절대 부등식과 조건 부등식

절대 부등식(絶對不等式)은 모든 변수의 값에 대하여 항상 성립하는 부등식이다. 조건 부등식(條件不等式)은 특정한 범위의 변수의 값 아래에서만 성립하는 부등식이다. 어떤 부등식이 절대 부등식인 것을 보이는 과정을 그 부등식에 대한 증명이라고 한다. 어떤 부등식이 성립할 조건을 구하는 과정을 그 부등식에 대한 풀이라고 한다.

예를 들어, 실수 부등식

$3x+3>0$

이 성립할 필요 충분 조건은

$x>-1$

이므로, 이는 조건 부등식이다. 실수 부등식

$x^{2}+y^{2}\geq 2xy$

가 성립할 필요 충분 조건은

$x,y\in \mathbb {R}$

이므로, 이는 절대 부등식이다.

유명한 부등식

• 코시-슈바르츠 부등식
• 삼각 부등식
• 산술-기하 평균 부등식
• 마르코프 부등식
• 체비쇼프 부등식
• 민코프스키 부등식
• 연립 부등식
• 횔더 부등식

역사

토머스 해리엇(영어: Thomas Harriot)이 기호 ‘>’ 및 ‘<’를 도입하였다.^{:260, §13.3}