제2 가산 공간

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일반위상수학에서, 제2 가산 공간(第二可算空間, 영어: second-countable space)은 가산 기저를 갖는 위상 공간이다.

정의[편집]

위상 공간 무게(영어: weight) 기저들의 집합의 크기 가운데 최소인 기수이다. (기수의 전순서정렬 전순서이므로 이는 항상 존재한다.)

위상 공간 에 대하여, 다음 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 제2 가산 공간이라고 한다.

  • 가산 기저를 갖는다.
  • 위의 임의의 기저 에 대하여, 이며 기저를 이루는 가산 집합 이 존재한다.

성질[편집]

모든 제2 가산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

거리화 가능 공간 에 대하여, 다음 성질들이 서로 동치이다.

우리손 거리화 정리에 따르면, 모든 제2 가산 정칙 공간유사 거리화 가능 공간이며, 모든 제2 가산 정칙 하우스도르프 공간거리화 가능 공간이다.

연산에 대한 닫힘[편집]

부분 공간[편집]

임의의 위상 공간 위의 기저 및 부분 집합 에 대하여, 위의 기저를 이룬다. 따라서

이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다.

몫공간[편집]

제2 가산 공간의 몫공간은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다. 다만, 임의의 제2 가산 공간 열린집합 에 대하여, 동치 관계

를 주었을 때, 몫공간 은 역시 제2 가산 공간이다.

곱공간[편집]

임의의 곱공간

및 각 위의 기저 에 대하여,

위의 기저를 이룬다. 따라서

이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 곱공간은 제2 가산 공간이며, 임의의 무한 기수 에 대하여 개 이하의, 무게가 이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는 이하이다.

분리합집합[편집]

위상 공간들의 집합 분리합집합

의 무게는 각 성분들의 무게들의 합이다.

따라서, 가산 개의 제2 가산 공간들의 분리합집합은 제2 가산 공간이다. 그러나 비가산 개의 위상 공간들의 분리합집합은 (위상 공간들이 공집합이 아니라면) 제2 가산 공간이 아니다.

크기 관련 성질[편집]

제2 가산 공간의 열린집합의 수는 이하이다.

제2 가산 공간 위의 임의의 기저는 가산 부분 기저를 갖는다.

[편집]

흔히 볼 수 있는 대부분의 공간들이 제2 가산 공간이다.

이산 공간[편집]

이산 공간의 경우, 최소의 기저는 모든 가능한 한원소 집합들로 구성된다. 따라서, 이산 공간 의 밀도는 그 집합의 크기와 같다.

특히, 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 가산 집합인 것과 동치이다.

비이산 공간[편집]

비이산 공간 의 경우, 최소의 기저는 (공집합이 아닐 경우) 이다. 따라서, 비이산 공간 의 밀도는 다음과 같다.

특히, 모든 비이산 공간은 제2 가산 공간이다.

제2 가산 공간이 아닌 제1 가산 공간[편집]

긴 직선T4 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다.

제1 가산 공간이 아닌, 제2 가산 공간의 몫공간[편집]

위상 공간

몫공간

을 생각하자. 는 제2 가산 공간의 가산 개의 분리합집합이므로 제2 가산 공간이다. 그러나 에서 국소 지표

를 가지며, 따라서 제1 가산 공간도, 제2 가산 공간도 아니다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]