제2 가산 공간

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일반위상수학에서, 제2 가산 공간(第二可算空間, 영어: second-countable space)은 가산 기저를 갖는 위상 공간이다.

정의[편집]

위상 공간 X무게(영어: weight) w(X)X기저들의 집합의 크기 가운데 최소인 기수이다. (기수의 순서는 정렬 순서이므로 이는 항상 존재한다.)

위상 공간 X에 대하여, 다음 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 제2 가산 공간이라고 한다.

성질[편집]

모든 제2 가산 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

거리화 가능 공간 M에 대하여, 다음 성질들이 서로 동치이다.

우리손 거리화 정리(영어: Urysohn metrization theorem)에 따르면, 모든 제2 가산 정칙 공간거리화 가능 공간이다.

제2 가산성을 보존하는 연산[편집]

임의의 위상 공간 X 위의 기저 \mathcal B 및 부분 집합 Y\subseteq X에 대하여, \{B\cap Y\colon B\in\mathcal B\}Y 위의 기저를 이룬다. 따라서

w(Y)\le w(X)

이다. 특히, 제2 가산 공간의 모든 부분 공간은 제2 가산 공간이다.

임의의 곱공간

X=\prod_{i\in I}X_i

및 각 X_i 위의 기저 \mathcal B_i\subseteq\mathcal P(X_i)에 대하여,

\left\{\prod_{i\in I}B_i
\colon B_i\in\mathcal B_i,\;\{i\in I\colon B_i\ne X_i\}<\aleph_0\right\}

X 위의 기저를 이룬다. 따라서

w(X)\le\sum_{J\subseteq I}^{J<\aleph_0}
\prod_{i\in J}w(X_i)\le
\max\left(\{w(X_i)\colon i\in I\}\cup\{|I|,\aleph_0\}\right)

이다. 특히, 가산 개의 제2 가산 공간들의 곱공간은 제2 가산 공간이며, 임의의 무한 기수 \kappa에 대하여 \kappa개 이하의, 무게가 \kappa 이하인 위상 공간들의 곱공간의 무게는 \kappa 이하이다.

그러나 제2 가산 공간의 몫공간은 제2 가산 공간이 아닐 수 있다.

위상 공간들의 집합 \{X_i\}_{i\in I}분리합집합

X=\bigsqcup_{i\in I}X_i

의 무게는 각 성분들의 무게들의 합이다.

w(X)=\sum_{i\in I}w(X_i)

따라서, 가산 개의 제2 가산 공간들의 분리합집합은 제2 가산 공간이다. 그러나 비가산 개의 위상 공간들의 분리합집합은 (위상 공간들이 공집합이 아니라면) 제2 가산 공간이 아니다.

크기 관련 성질[편집]

제2 가산 공간의 열린집합의 수는 2^{\aleph_0} 이하이다.

제2 가산 공간 위의 임의의 기저는 가산 부분 기저를 갖는다.

[편집]

흔히 볼 수 있는 대부분의 공간들이 제2 가산 공간이다.

긴 직선T4 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니다.

이산 공간의 경우, 최소의 기저는 모든 가능한 한원소 집합들로 구성된다. 따라서, 이산 공간 X의 밀도는 그 집합의 크기와 같다.

w(X)=|X|

특히, 이산 공간이 제2 가산 공간인 것은 가산 집합인 것과 동치이다.

비이산 공간 X의 경우, 최소의 기저는 (공집합이 아닐 경우) |X|이다. 따라서, 비이산 공간 X의 밀도는 다음과 같다.

w(X)=\min\{1,|X|\}

특히, 모든 비이산 공간은 제2 가산 공간이다.

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]