정칙 특이점

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복소 상미분 방정식 이론에서, 정칙 특이점(正則特異點, 영어: regular singularity)은 선형 상미분 방정식의 해가 유리형 함수를 이루는 특이점이다. 정칙 특이점 근처에서는 프로베니우스 방법을 적용하여 미분 방정식의 해를 구할 수 있다.

정의[편집]

복소 변수 를 가지는 미지 함수 에 대한 n차 선형 상미분 방정식

을 생각하자. 여기서 들은 모두 유리형 함수이다.

만약 가 점 에서 차수 이하의 극점만을 갖는다면, 를 이 상미분 방정식의 정칙 특이점이라고 하며, 그렇지 않을 경우 비정칙 특이점(영어: irregular singular point)이라고 한다.

복소 무한대 를 포함하여, 비정칙 특이점을 갖지 않는 복소 선형 상미분 방정식을 푹스 미분 방정식(영어: Fuchsian differential equation)이라고 한다. 푹스 미분 방정식의 경우 프로베니우스 방법을 적용시킬 수 있다.

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베셀 방정식

을 생각하고, 이라고 하자. 이 방정식은 에서 정칙 특이점을 갖는다. 반면,로 변환하면

이므로, 에서의 특이점은 비정칙 특이점이다. 따라서 베셀 방정식은 푹스 미분 방정식을 이루지 못한다.

푹스 미분 방정식의 예로는 르장드르 방정식이나 초기하 미분 방정식 등이 있다.

바깥 고리[편집]