정칙 특이점

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복소 상미분 방정식 이론에서, 정칙 특이점(正則特異點, 영어: regular singularity)은 선형 상미분 방정식의 해가 유리형 함수를 이루는 특이점이다. 정칙 특이점 근처에서는 프로베니우스 방법을 적용하여 미분 방정식의 해를 구할 수 있다.

정의[편집]

복소 변수 z\in\hat{\mathbb C}를 가지는 미지 함수 f에 대한 n차 선형 상미분 방정식

p_0(z)f(z)+p_1(z)f'(z)+\cdots+p_{n-1}(z)f^{(n-1)}(z)+f^{(n)}(z)=0

을 생각하자. 여기서 p_i들은 모두 유리형 함수이다.

만약 p_i(z)가 점 z_0\in\hat{\mathbb C}에서 차수 n-i 이하의 극점만을 갖는다면, z_0를 이 상미분 방정식의 정칙 특이점이라고 하며, 그렇지 않을 경우 비정칙 특이점(영어: irregular singular point)이라고 한다.

복소 무한대 \widehat\infty\in\hat{\mathbb C}를 포함하여, 비정칙 특이점을 갖지 않는 복소 선형 상미분 방정식을 푹스 미분 방정식(영어: Fuchsian differential equation)이라고 한다. 푹스 미분 방정식의 경우 프로베니우스 방법을 적용시킬 수 있다.

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베셀 방정식

(1-\alpha^2/z^2)+z\frac d{dz}(z)+\frac{d^2}{dz^2}(z)=0

을 생각하고, \alpha\ne0이라고 하자. 이 방정식은 z=0에서 정칙 특이점을 갖는다. 반면,w=1/z로 변환하면

(1/w^4-\alpha^2/w^2)+w^{-1}\frac d{dw}f(w)+\frac{d^2}{dw^2}f(w)=0

이므로, z=\widehat\infty에서의 특이점은 비정칙 특이점이다. 따라서 베셀 방정식은 푹스 미분 방정식을 이루지 못한다.

푹스 미분 방정식의 예로는 르장드르 방정식이나 초기하 미분 방정식 등이 있다.

바깥 고리[편집]