표준 선다발

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대수기하학에서, 표준 선다발(標準線다발, 영어: canonical line bundle) 또는 표준 선속(標準線束)은 켈러 미분의 층의 최고차 외부 거듭제곱이다.

정의[편집]

대수적으로 닫힌 체 위의 차원 비특이 대수다양체 표준 선다발 은 다음과 같은 가역층이다.[1]:180–181

여기서 켈러 미분층이다. 표준 선다발에 대응하는 인자류표준류(標準類, 영어: canonical class)라고 하고, 표준류에 속하는 인자를 표준 인자(標準因子, 영어: canonical divisor) 라고 한다.

만약 가 특이점을 가지지만 정규 대수다양체인 경우, 매끄러운 궤적(영어: smooth locus) 가 존재한다. 이 경우, 의 표준 인자는 의 표준 인자로 정의한다. 보다 일반적으로, 가 S2 조건(여차원 2까지 코언-매콜리 조건이 성립)을 만족시키며 고런스틴 스킴이라면, 위와 같이 표준 인자를 정의할 수 있다.

표준 선다발의 역을 반표준 선다발(反標準線다발, 영어: anticanonical line bundle) 이라고 한다. 반표준류(反標準類, 영어: anticanonical class) 및 반표준 인자(反標準因子, 영어: anticanonical divisor)는 이에 대응하는 인자(류)이다.

첨가 공식[편집]

첨가 공식(添加公式, 영어: adjunction formula)은 어떤 부분 대수다양체의 표준 선다발과 전체 공간의 표준 선다발 사이의 관계를 나타내는 공식이다.

비특이 대수다양체 위의 인자 에 대하여, 다음과 같은 첨가 공식이 성립한다.

즉, 선다발로는 다음과 같다. 로 정의되는 부분다양체를 , 매장 사상을 라고 하면, 다음과 같다.

여차원이 2 이상일 경우에도 유사한 첨가 공식이 성립한다. 비특이 대수다양체 의 닫힌 비특이 부분 대수다양체 가 주어졌고, 이에 대응하는 아이디얼 층라고 하자. 이 경우, 자리스키 쌍대법다발이다. 이 경우, 다음과 같은 아벨 군 짧은 완전열이 존재한다.[1]:182

여기서 공변접다발이다. 완전열의 모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.[2]:146–147[1]:182, Proposition II.8.20

여기서 는 쌍대 다발을 뜻한다.

[편집]

복소수체 위의 차원 비특이 대수다양체의 경우, 표준 선다발은 행렬식 다발(영어: determinant bundle)이라고 하며, 정칙 미분 형식들의 선다발이다. (단일 연결) 칼라비-야우 다양체의 경우, 표준 선다발은 자명하다. 파노 다양체의 경우, 반표준 선다발은 풍부한 선다발이다.

리만 곡면의 표준 선다발[편집]

리만 곡면(=1차원 복소수 비특이 대수다양체) 위의 표준 선다발은 정칙 공변접다발 와 같으며, 그 차수는 다음과 같다.

특히, 인 경우 이는 효과적 인자를 이룬다. 이 경우, 개의 단면들은 유리 사상 을 정의한다. 이 유리 사상의 상은 사영 곡선을 이루며, 이를 표준 곡선(영어: canonical curve)이라고 한다.

만약 초타원 곡선일 경우, 그 표준 곡선은 유리 곡선이며, 유리 사상은 두 겹 피복 공간을 이룬다. 예를 들어, 의 종수가 2이며, 가 다음과 같은 (아핀) 방정식으로 정의된다고 하자.

여기서 는 6차 다항식이다. 그렇다면, 이 위의 제1종 미분(=(1,0)차 복소수 미분 형식)은 다음과 같이 두 개가 있다.

이에 따라서, 표준 곡선은

임을 알 수 있다. 이는 물론 두 겹 피복 공간이다.

만약 가 초타원 곡선이 아닌 종수 3 이상의 곡선일 경우, 의 표준 곡선은 와 동형이다. 예를 들어, 다음과 같다.

  • 종수 3인 경우, 표준 곡선은 4차 평면 곡선이다.
  • 종수 4인 경우, 표준 곡선은 2차 곡면과 3차 곡면의 교집합이다.
  • 종수 5인 경우, 표준 곡선은 세 개의 2차 초곡면의 교집합이다.

사영 공간[편집]

대수적으로 닫힌 체 위의 사영 공간 에 대하여, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.[1]:176, Theorem II.8.13 이를 오일러 완전열이라고 한다.

모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.[1]:182, Example II.8.20.1

사영 공간 속의 초곡면[편집]

차원 사영 공간 속에서, 동차다항식으로 정의되는 초곡면 들의 완전 교차(영어: complete intersection)

를 생각하자. 이 경우,

이므로, 첨가 공식에 따라서 의 표준 선다발은 다음과 같다.

만약

이라면 표준 선다발은 자명하며, 이 경우 (비특이 대수다양체라면) 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

특히, 사영 평면 속의 차 대수 곡선 의 표준 선다발은 다음과 같다.[1]:361, Example V.1.5.1; 183, Example II.8.20.3

차 평면 대수 곡선의 경우

이므로,

이다. 리만-로흐 정리에 따라서

이므로, 다음과 같은 종수-차수 공식(種數次數公式, 영어: genus–degree formula)을 얻는다.

이차 곡면 위의 곡선의 종수[편집]

첨가 공식을 사용하여 이차 곡면 속의 곡선의 종수를 계산할 수 있다.[1]:362, Example V.1.5.2 곡선 의 차수가 라고 하자. 의 표준 선다발의 차수는 이다. 즉, 의 차수는 교차곱이다. 이차 평면 위의 교차곱은 다음과 같다.[1]:361, Example V.1.4.3

따라서, 다음이 성립한다.

즉,

이다.

참고 문헌[편집]

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  2. Griffiths, Philip; Harris, Joseph (1994년 8월). 《Principles of algebraic geometry》. Wiley Classics Library (영어) 2판. Wiley. doi:10.1002/9781118032527. ISBN 978-0-471-05059-9. MR 1288523. Zbl 0836.14001. 

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]