전기장 가림

플라스마에서의 가림. 플라스마에 놓인 큰 양전하 주위에 음전하 구름이 형성되어 양전하의 영향으로부터 플라스마의 나머지 부분을 차폐한다.

물리학에서 가림(영어: screening)은 이동 가능한 전하 운반체의 존재로 인해 발생하는 전기장의 감쇠이다. 이는 이온화된 기체(고전적인 플라스마), 전해질, 전자 도체(반도체, 금속)와 같은 전하 운반 매질의 중요한 행동 부분이다. 주어진 유전율 ε을 가진, 전하를 띠는 구성 입자로 이루어진 유체에서, 각 입자 쌍(전하 q₁ 및 q₂를 가짐)은 다음과 같이 쿨롱 힘을 통해 상호 작용한다. $$\mathbf {F} ={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon \left|\mathbf {r} \right|^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},$$ 여기서 벡터 r은 전하 사이의 상대 위치이다. 이 상호 작용은 유체의 이론적 처리를 복잡하게 만든다. 예를 들어, 바보 같은 양자 역학적 바닥 상태 에너지 밀도 계산은 무한대를 산출하는데, 이는 불합리하다. 어려움은 쿨롱 힘이 거리와 함께 1/r²로 감소하더라도, 유체가 상당히 등방성이라고 가정하면 각 거리 r에서의 평균 입자 수가 r²에 비례한다는 사실에 있다. 결과적으로 한 지점에서의 전하 변동은 먼 거리에서 무시할 수 없는 영향을 미친다.

실제로 이러한 장거리 효과는 전기장에 대한 입자의 흐름에 의해 억제된다. 이 흐름은 입자 간의 유효 상호 작용을 단거리 "가려진" 쿨롱 상호 작용으로 감소시킨다. 이 시스템은 재규격화된 상호 작용의 가장 간단한 예에 해당한다.

고체물리학에서 특히 금속과 반도체의 경우 가림 효과(영어: screening effect)는 고체 내 이온의 정전기장 및 쿨롱 퍼텐셜을 설명한다. 원자핵의 전기장이 가림 효과로 인해 원자나 이온 내부에서 감소하는 것처럼, 전도성 고체 내 이온의 전기장은 전도 전자 구름에 의해 더욱 감소한다.

설명

균일한 양전하 배경 속에서 움직이는 전자들로 구성된 유체(단일 성분 플라스마)를 생각해 보자. 각 전자는 음전하를 띤다. 쿨롱 상호 작용에 따르면 음전하는 서로를 밀어낸다. 결과적으로 이 전자는 다른 전자들을 밀어내어 자신 주변에 전자가 더 적은 작은 영역을 생성한다. 이 영역은 양전하를 띤 "가림 구멍"으로 처리될 수 있다. 먼 거리에서 볼 때, 이 가림 구멍은 전자에 의해 생성된 전기장을 상쇄하는 겹쳐진 양전하의 효과를 가진다. 구멍 영역 내부의 짧은 거리에서만 전자의 장을 감지할 수 있다. 플라스마의 경우, 이 효과는 $N$-체 계산을 통해 명시적으로 만들 수 있다. 배경이 양이온으로 구성되어 있다면, 관심 전자에 의한 양이온의 인력은 위의 가림 메커니즘을 강화한다. 원자 물리학에서는 하나 이상의 전자 껍질을 가진 원자에 대해 관련 효과인 가림 효과가 존재한다. 플라스마 물리학에서 전기장 가림은 디바이 가림 또는 차폐라고도 불린다. 이는 플라스마가 접촉하는 물질 옆의 시스(디바이 차폐)에 의해 거시적 규모로 나타난다.

가려진 퍼텐셜은 금속 내에서 원자 간 힘과 포논 분산 관계를 결정한다. 가려진 퍼텐셜은 다양한 재료의 띠구조를 계산하는 데 사용되며, 종종 의사 퍼텐셜 모델과 결합된다. 가림 효과는 독립 전자 근사로 이어지며, 이는 드루드 모형, 자유 전자 모형 및 준자유 전자 모형과 같은 고체의 입문 모델의 예측력을 설명한다.

이론 및 모델

피터 디바이와 에리히 휘켈에 의한 정전기적 가림에 대한 첫 번째 이론적 처리는 유체에 삽입된 정지된 점전하를 다루었다.

무겁고 양전하를 띠는 이온 배경 속의 전자 유체를 생각해 보자. 단순화를 위해 이온의 움직임과 공간 분포를 무시하고, 균일한 배경 전하로 근사한다. 전자는 이온보다 가볍고 움직임이 더 자유로우므로, 이온 간격보다 훨씬 큰 거리를 고려한다면 이러한 단순화가 허용된다. 응집물질물리학에서 이 모델을 젤리움이라고 한다.

가려진 쿨롱 상호 작용

ρ는 전자의 개수밀도를, φ는 전위를 나타낸다고 하자. 처음에는 전자가 균일하게 분포되어 있어 모든 지점에서 순 전하가 0이다. 따라서 φ도 처음에는 상수이다.

이제 원점에 고정된 점전하 Q를 도입한다. 관련된 전하 밀도는 Qδ(r)이며, 여기서 δ(r)은 디랙 델타 함수이다. 시스템이 평형 상태로 돌아온 후, 전자 밀도와 전위의 변화를 각각 Δρ(r)과 Δφ(r)라고 하자. 전하 밀도와 전위는 푸아송 방정식에 의해 관련되며, 이는 다음을 제공한다. $$-\nabla ^{2}[\Delta \phi (r)]={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}[Q\delta (r)-e\Delta \rho (r)],$$ 여기서 ε₀는 진공 유전율이다.

진행하려면 Δρ와 Δφ를 연결하는 두 번째 독립 방정식을 찾아야 한다. 우리는 두 가지 가능한 근사를 고려한다. 이 근사 하에서 두 양은 비례한다: 고온(예: 고전 플라스마)에서 유효한 디바이-휘켈 근사와 저온(예: 금속 내 전자)에서 유효한 토마스-페르미 근사이다.

디바이-휘켈 근사

 이 부분의 본문은 디바이-휘켈 이론입니다.

디바이-휘켈 근사에서, 우리는 시스템을 맥스웰-볼츠만 통계를 따를 만큼 충분히 높은 온도 T에서 열역학적 평형 상태로 유지한다. 공간의 각 지점에서 에너지 j를 가진 전자의 밀도는 다음과 같은 형태를 가진다. $$\rho _{j}(r)=\rho _{j}^{(0)}(r)\;\exp \left[{\frac {e\phi (r)}{k_{\mathrm {B} }T}}\right]$$ 여기서 k_B는 볼츠만 상수이다. φ에 대해 섭동하고 지수를 1차항까지 전개하면 다음을 얻는다. $$e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi$$ 여기서 $$k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {\rho e^{2}}{\varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}}$$

관련된 길이 λ_D ≡ 1/k₀를 디바이 길이라고 한다. 디바이 길이는 고전 플라스마의 기본 길이 척도이다.

토마스-페르미 근사

 이 부분의 본문은 토마스-페르미 가림 및 린하르트 이론입니다.

르웰린 토마스와 엔리코 페르미의 이름을 딴 토마스-페르미 근사에서, 시스템은 일정한 전자 화학 퍼텐셜(페르미 준위)과 저온에서 유지된다. 전자의 조건은 실제 실험에서 금속/유체를 접지와 고정된 전위차로 전기적으로 접촉시킨 상태를 유지하는 것에 해당한다. 화학 퍼텐셜 μ는 정의에 따라 유체에 추가 전자를 추가하는 에너지이다. 이 에너지는 운동 에너지 T 부분과 퍼텐셜 에너지 −eφ 부분으로 분해될 수 있다. 화학 퍼텐셜이 일정하게 유지되므로, $$\Delta \mu =\Delta T-e\Delta \phi =0.$$

온도가 극도로 낮으면 전자의 행동은 양자역학적 페르미 기체 모델에 가깝게 된다. 따라서 T를 페르미 기체 모델에서 추가 전자의 운동 에너지, 즉 페르미 에너지 E_F로 근사한다. 3D 시스템의 페르미 에너지는 전자의 밀도(스핀 퇴화 포함)와 다음 관계를 가진다. $$\rho =2{\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\left({\frac {4}{3}}\pi k_{\mathrm {F} }^{3}\right),\quad E_{\mathrm {F} }={\frac {\hbar ^{2}k_{F}^{2}}{2m}},$$ 여기서 k_F는 페르미 파동 벡터이다. 1차 섭동을 하면 다음을 발견한다. $$\Delta \rho \simeq {\frac {3\rho }{2E_{\mathrm {F} }}}\Delta E_{\mathrm {F} }.$$

이를 Δμ에 대한 위 방정식에 삽입하면 다음이 산출된다. $$e\Delta \rho \simeq \varepsilon _{0}k_{0}^{2}\Delta \phi$$ 여기서 $$k_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {3e^{2}\rho }{2\varepsilon _{0}E_{\mathrm {F} }}}}={\sqrt {\frac {me^{2}k_{\mathrm {F} }}{\varepsilon _{0}\pi ^{2}\hbar ^{2}}}}$$ 를 토마스-페르미 가림 파동 벡터라고 한다.

이 결과는 상호 작용하지 않는 전자의 모델인 페르미 기체의 방정식에서 파생된 것이지만, 우리가 연구하는 유체는 쿨롱 상호 작용을 포함한다. 따라서 토마스-페르미 근사는 전자 밀도가 낮아서 입자 상호 작용이 상대적으로 약할 때만 유효하다.

결과: 가려진 퍼텐셜

이제 디바이-휘켈 또는 토마스-페르미 근사에서 얻은 결과를 푸아송 방정식에 삽입할 수 있다. 결과는 다음과 같다. $$\left[\nabla ^{2}-k_{0}^{2}\right]\phi (r)=-{\frac {Q}{\varepsilon _{0}}}\delta (r),$$ 이를 가려진 푸아송 방정식이라고 한다. 해는 다음과 같다. $$\phi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}e^{-k_{0}r},$$ 이를 가려진 쿨롱 퍼텐셜이라고 한다. 이는 쿨롱 퍼텐셜에 지수 감쇠항이 곱해진 형태로, 감쇠 인자의 강도는 디바이 또는 토마스-페르미 파동 벡터인 k₀의 크기에 의해 주어진다. 이 퍼텐셜은 유카와 퍼텐셜과 동일한 형태를 가진다는 점에 유의한다. 이 가림은 공간 분산을 보여주는 유전 함수를 산출하며, 즉 역 공간에서 $k$-벡터에 의존한다. 유카와 퍼텐셜을 푸리에 변환하면 $\varepsilon (k)=\varepsilon _{0}(1+(k_{0}/k)^{2})$를 얻는다 (또한 토마스-페르미 가림 참조).

다체 이론

고전 물리학 및 선형 반응

기계적 $N$-체 접근 방식은 가림 효과와 란다우 감쇠의 파생을 함께 제공한다. 이는 속도 분산을 가진 전자가 있는 단일 성분 플라스마의 단일 실현을 다룬다 (열 플라스마의 경우 디바이 구에 많은 입자가 있어야 하며, 그 반지름은 디바이 길이이다). 전자의 자체 전기장 내에서의 선형화된 운동을 사용하여 다음과 같은 유형의 방정식을 산출한다. $${\mathcal {E}}\Phi =S,$$

여기서 ${\mathcal {E}}$는 선형 연산자, $S$는 입자로 인한 소스 항, $\Phi$는 정전기 퍼텐셜의 푸리에-라플라스 변환이다. ${\mathcal {E}}$에서 입자에 대한 이산 합을 부드러운 분포 함수에 대한 적분으로 대체하면 다음을 얻는다. $$\varepsilon (\mathbf {k} ,\omega )\,\Phi (\mathbf {k} ,\omega )=S(\mathbf {k} ,\omega ),$$ 여기서 $\varepsilon (\mathbf {k} ,\omega )$는 플라스마 유전율 또는 유전 함수이며, 블라소프-푸아송 방정식을 선형화하여 고전적으로 얻어진다. $\mathbf {k}$는 파동 벡터, $\omega$는 주파수, $S(\mathbf {k} ,\omega )$는 입자로 인한 $N$개의 소스 항의 합이다.

역 푸리에-라플라스 변환에 의해 각 입자로 인한 퍼텐셜은 두 부분의 합이다. 하나는 입자에 의한 랑뮈르 파동의 여기와 관련되고, 다른 하나는 고전적으로 테스트 입자를 포함하는 선형화된 블라소프 계산을 통해 얻어진 가려진 퍼텐셜이다. 가려진 퍼텐셜은 열 플라스마 및 열 입자에 대한 위의 가려진 쿨롱 퍼텐셜이다. 더 빠른 입자의 경우 퍼텐셜이 수정된다. $S(\mathbf {k} ,\omega )$에서 입자에 대한 이산 합을 부드러운 분포 함수에 대한 적분으로 대체하면 란다우 감쇠 계산을 가능하게 하는 블라소프 표현이 산출된다.

양자 역학적 접근

실제 금속에서 가림 효과는 토마스-페르미 이론에서 위에서 설명한 것보다 더 복잡하다. 전하 운반체(전자)가 모든 파동 벡터에서 반응할 수 있다는 가정은 단지 근사치일 뿐이다. 그러나 페르미 표면 내부 또는 위에 있는 전자가 페르미 파동 벡터보다 짧은 파동 벡터에서 반응하는 것은 에너지적으로 불가능하다. 이러한 제약은 깁스 현상과 관련이 있는데, 공간에서 빠르게 변하는 함수에 대한 푸리에 급수는 매우 많은 항이 유지되지 않는 한 좋은 근사가 아니다. 물리학에서 이 현상은 프리델 진동으로 알려져 있으며, 표면 가림과 부피 가림 모두에 적용된다. 각 경우에 순 전기장은 공간에서 지수적으로 감소하지 않고, 대신 진동 항이 곱해진 역 거듭제곱 법칙으로 감소한다. 이론적 계산은 양자 유체역학 및 밀도범함수 이론(DFT)에서 얻을 수 있다.

같이 보기

• 비에룸 길이
• 디바이 길이

외부 링크

• Fitzpatrick, Richard (2011년 3월 31일). “Debye Shielding”. 《The University of Texas at Austin》. 2018년 7월 12일에 확인함.