작용소 노름

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연산자 이론에서, 작용소 노름(作用素norm, 영어: operator norm)은 노름 공간 위의 유계 작용소노름이다.

정의[편집]

노름 공간 VW 사이의 선형 변환 T: VW가 연속일 필요충분조건은 다음을 만족하는 실수 c가 존재하는 것이다.

직관적으로 이를 보면, 연속 작용소 A는 벡터의 길이를 c 이상 늘리지 못한다. 따라서 연속 작용소에 의한 유계 집합 또한 유계 집합이다. 이 성질 때문에, 연속 선형 변환들을 유계 작용소라고 부른다. 이 때문에 A의 크기를 재기 위해서, 모든 V 안의 x에 대해 위의 부등식을 만족하는 최소의 c를 찾는다. 다시 말하면, A의 크기를 A에 의해 조절된 벡터의 크기의 상대적 값의 최소로 정의할 수 있다. 따라서 유계 작용소 T작용소 노름 을 다음과 같이 정의한다.

동등한 정의[편집]

위 정의로부터 출발하여 아래의 정의들 또한 위와 동등한 정의임을 확인할 수 있다.

성질[편집]

작용소 노름은 노름이므로 아래의 성질을 만족한다.

작용소 노름의 정의로부터 다음의 성질이 항상 성립함을 알 수 있다.

같이 보기[편집]