자유 변수와 종속 변수

종속 변수는 여기로 연결됩니다. 함수의 정의역의 원소를 나타내는 변수에 대해서는 독립 변수와 종속 변수 문서를 참고하십시오.

논리학과 컴퓨터 과학에서 자유 변수(自由變數, 영어: free variable)는 수식 속의 변수 가운데 상숫값으로 치환할 수 있는 것이다. 반대로 종속 변수(從屬變數, 영어: bound variable)는 상숫값으로 치환하였을 때 수식이 본래의 의미를 잃게 되는 변수이다. 종속 변수 대신 가변수(假變數, 영어: dummy variable)라고도 하나, 이는 회귀 분석의 용어로서 더 많이 쓰인다. 컴퓨터 프로그래밍에서 자유 변수는 전역 변수, 종속 변수는 지역 변수를 가리킨다. 이 경우, 자유 변수는 대략 함수의 바깥에서 정의된 변수를 뜻한다.

정의

어떤 수식의 변수 $x$가 다음과 같은 꼴의 부분 수식 속에 나타난다면, 그 위치의 $x$를 종속 변수라고 한다.

• $\forall x(\cdots )$
• $\exists x(\cdots )$
• $\sum _{x}(\cdots )$
• $\int (\cdots )dx$
• $\lim _{x\to a}(\cdots )$
• 기타 등등

여기서 $\forall$는 전칭 기호, $\exists$는 존재 기호, $\textstyle \sum$은 급수, $\textstyle \int$는 적분, $\textstyle \lim$은 극한이다. $\forall x$의 $x$까지 종속 변수인지는 문맥에 따라 다르다.^:17 종속 변수가 아닌 변수를 자유 변수라고 한다.

예

대형 연산자를 포함하는 수식의 자유 변수와 종속 변수

수식

$\sum _{n=1}^{10}{\frac {m}{n}}$

에서, $m$은 자유 변수, $n$는 종속 변수이다. 따라서, 이 급수는 $m$의 함수이지만, $n$의 함수는 아니다.

수식

$\int _{a}^{b}f(x,y)dx$

에서, $x$는 종속 변수, $y$는 자유 변수이다. 즉, 이 적분은 $y$의 함수이지만 $x$의 함수가 아니다.

변수에 상숫값을 대입시킬 때에는 반드시 자유 변수에만 대입시켜야 한다. 예를 들어, 급수

$n+\sum _{n=1}^{10}n$

속의 세 개의 $n$ 가운데, 첫째 $n$은 자유 변수, 둘째와 셋째 $n$은 종속 변수이다. 여기에 $n=5$를 대입시키려면, 자유 변수인 첫째 변수에만 대입시켜야만 정확한 결과

$5+\sum _{n=1}^{10}n=5+55=60$

를 얻는다. 만일 $n=5$를 이 급수의 자유 변수와 종속 변수에 대입시키면,

$5+\sum _{5=1}^{10}5$

를 얻으며, 이는 무의미한 수식이다. 만일 첫째와 셋째 $n$에만 대입시키면,

$5+\sum _{n=1}^{10}5=5+50=55$

를 얻으며, 이 식의 값은 $n+55$에 $n=5$를 대입한 결과값과 다르다.

종속 변수를 다른 변수로 대신하여도 수식의 의미가 변하지 않는다. 예를 들어, 다음과 같은 세 급수는 완전히 같은 급수이다.

$\sum _{m=1}^{10}m=\sum _{n=1}^{10}n=\sum _{k=1}^{10}k$

술어 논리식의 자유 변수와 종속 변수

논리식

$x>1\lor x<-1$

에서, $x$는 자유 변수이다. 여기에 상숫값인 $x=3$을 대입하여 얻는

$3>1\lor 3<-1$

은 여전히 유의미한 논리식이다.

논리식

$\exists x(x<0)$

에서, 두 $x$는 모두 종속 변수이다. 여기에 상숫값인 $x=3$을 대입하여 얻는 논리식은 원래의 논리식과 같다. 만일 둘째 $x$를 3으로 대신하면

$\exists x(3<0)$

을 얻는데, 이는 3이 음수라는 의미의 거짓 명제이지만, 원래의 논리식은 음수가 존재한다는 의미의 참인 명제이다. 또한, 바뀐 논리식의 변수 $x$를 다른 변수로 치환하여도 의미가 변하지 않는다. 예를 들어,

$\exists y(y<0)$

는 원래의 논리식과 동치이다.

외부 링크

• “Free variable”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Bound variable”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Free variable”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Bound variable”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dummy variable”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Free and bound variables”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Definition:Free variable”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Definition:Bound variable”. 《ProofWiki》 (영어).